Problem K. 720. (February 2022)

K. 720. Divide the area of a regular hexagon into three equal parts with two lines passing through the same vertex.

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy szabályos hatszög felbontható hat egybevágó szabályos háromszögre. A hatszög területének harmada két ilyen szabályos háromszög területével egyenlő területű. Egy ilyen szabályos háromszög területe legyen \(\displaystyle t\), ekkor a hatszög területe \(\displaystyle 6t\). Használjuk az ábra jelöléseit.

Húzzuk be az \(\displaystyle A\) csúcsból a \(\displaystyle CD\) szakasz \(\displaystyle P\) felezőpontján átmenő egyenest. \(\displaystyle T_{ABC}=t\), mert a \(\displaystyle 2t\) területű \(\displaystyle ABCK\) rombusz területének a fele. \(\displaystyle T_{ACP}= T_{ADP}\), mert \(\displaystyle DP=CP\) és a két háromszögben ezekhez az oldalakhoz ugyanaz a magasság tartozik. (A háromszög súlyvonala felezi a területét.) Így \(\displaystyle T_{ACP} = (T_{ABCD} -T_{ABC}):2 = (3t-t):2=t\), és így \(\displaystyle T_{ABCP}= T_{ABC}+ T_{ACP} =t+t=2t\), tehát az \(\displaystyle ABCP\) négyszög területe valóban a hatszög területének harmada. A másik területharmadoló egyenes pedig az \(\displaystyle AQ\) egyenes, ahol \(\displaystyle Q\) azt \(\displaystyle ED\) oldal felezőpontja.

Statistics:

65 students sent a solution.
5 points:	Barna Márton, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Csiszár András, Deményi Zalán, Derűs Ádám , Domján István, Fercsák Flórián, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Gyuricsek Ákos, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Klement Tamás, Körmendi György, Kriston Nándor, Ladányi Nóra, Lipták Bence , Márfai Dóra, Mayer Máté, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Nagy Anna Éva, Oláh András, Papp Zsófia, Pocsay Levente László, Pulka Gergely Tamás, Rási Bence, Sebők Violetta Írisz, Szabó Donát, Személyi Sebestyén Gábriel, Téglás Dorka, Thuróczy Géza, Ujpál Bálint, Wang Kehan.
4 points:	Fehér Eszter, Herpai József Mátyás, Kisszölgyémi Zsófia, Palásthy Bánk, Polyányi Lora Molli, Suhajda Linda , Wodala Gréta Klára.
3 points:	7 students.
2 points:	4 students.
1 point:	4 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022