Problem K. 721. (February 2022)

K. 721. Alex made some wooden sticks of integer lengths such that no three of them could be used to form a triangle. Given that there were sticks of lengths 1 and 10 and that the longest stick was 100 units long, what is the maximum possible number of sticks that Alex may have made?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ahhoz, hogy három pálcikából ne lehessen háromszöget összeállítani, az kell, hogy a leghosszabb pálcika hossza legalább a két rövidebb hosszának összegével egyezzen meg. Így a legtöbb pálcika akkor lehetne, ha ezek hossza a következő lenne: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Mivel tudjuk, hogy van a pálcák között 10 hosszúságú, módosul a fenti sorozat: 1, 1, 2, 3, 5, 10, 15, 25, 40, 65, 105, ... A 10 legjobb esetben a 8 helyére kerülhetett, hiszen 3+5-nél nagyobb, de 5+8-nál már nem. A 100 hasonló okokból a 65-öt válthatja csak fel, mivel 105-nél nem nagyobb. Így a pálcák száma 10-nél nem lehet több.

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Bérczes Botond, Feczkó Illés Tivadar, Iván Máté Domonkos, Kendrovszki Dominik, Körmendi György, Kriston Nándor, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Papp Zsófia, Szabó Donát, Ujpál Bálint, Visontai Viktor.
4 points:	Bencze Mátyás, Csiszár András, Derűs Ádám , Domján István, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Halmai Attila, Jakubovics Kinga, Jurányi Benedek, Klement Tamás, Liszkai Egon Antal, Mayer Máté, Nagy Anna Éva, Pánczél Janka, Pozsik Péter, Sándor Botond, Személyi Sebestyén Gábriel, Szemző Dávid, Téglás Dorka, Wang Kehan.
3 points:	11 students.
2 points:	8 students.
1 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2022