Problem K. 725. (March 2022)

K. 725. We filled in the nine fields of a \(\displaystyle 3\times3\) table one by one, according to the following rule: in each field, we entered the number of adjacent fields (i.e. fields sharing a common side with it) that had been filled in before. What was the order of the fields filled in? How many orders are possible? (Use the notation \(\displaystyle a1, a2, \dots, c2, c3\) to refer to individual fields.)

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első választott mezőn csak a 0 lehet.

Első ábra: a sorrend egyértelmű: a3, b3, c3, c2, c1, b1, b2, a2, a1.

Második ábra: az a1 és a3 sarokmezőkön 2 van, és ez azt jelenti, hogy csak akkor írhattuk rá, amikor a2 és b1, illetve a2 és b3 már számos mező volt. A c2 mezőn 3 van, így ezt a mezőt csak akkor számozhattuk be, amikor b2 és c1 és c3 már számos mező volt.

Az elsőnek választott mező (0) a b1 vagy a c3 lehet. Mindkettőnek csak egy darab 1-es szomszédja van, így az első három kitöltött mező ezek közül biztosan a két 0, vagyis b1 és c3, és a b3 (különben nem tudnánk tovább töltögetni).

I. eset. Az első négy kitöltött mező b1, c1, b3, c3 megfelelő sorrendben. A lehetséges 24 sorrendből csak azok a jók, melyeknél a b1 megelőzi a c1-et, illetve a c3 megelőzi a b3-at.

Az első négy lehetséges mező sorrendje lehet:
b1, c1, c3, b3 vagy c3, b3, b1, c1 vagy b1, c3, c1, b3 vagy b1, c3, b3, c1 vagy c3, b1, c1, b3 vagy c3, b1, b3, c1, ami hat lehetőség.

Most biztosan a b2 számozása következik, mert a többi mező (a1, a2, a3, c2) még nem jöhet. Ezután a c2 mező a hátralévő négy kitöltendő mező közül bármikor sorra kerülhet. Ez négy lehetőség. A maradék három mező kitöltésének sorrendje a2, a1, a3 vagy a2, a3, a1, ami két lehetőség.

Így ebben az esetben összesen \(\displaystyle 6\cdot4\cdot2=48\)-féle kitöltési sorrend lehetséges.

II. eset. Az első négy kitöltött mező b1, b2, b3, c3 megfelelő sorrendben, ami lehet: c3, b1, b3, b2 vagy c3, b3, b1, b2 vagy b1, c3, b3, b2. Ez 3 lehetőség.

Ha ezután a c1-et töltjük ki, akkor a továbbiakra – a fentiek alapján – 12 lehetőségünk van, ami tehát összesen \(\displaystyle 3\cdot12=36\) eset.

Ha pedig az ötödik kitöltött mező az a2, akkor a maradék négy mező kitöltésekor már csak arra kell figyelni, hogy c1 megelőzze c2-t erre \(\displaystyle \frac{4!}{2!}=12\) lehetőség van. Tehát ekkor összesen szintén \(\displaystyle 3\cdot12=36\) eset van.

Összesen tehát \(\displaystyle 48+36+36=120\)-féle kitöltési sorrend lehetséges.

Statistics:

76 students sent a solution.
5 points:	Domján István.
4 points:	Barna Márton, Bencze Mátyás, Bérczes Botond, Biborka Bernadett, Csiszár András, Demeter Flóra, Derűs Ádám , Feczkó Illés Tivadar, Ferenczi Bence, Garamszegi Hanna, Gregor Vivien Veronika, Gyuricsek Ákos, Haraszti Péter, Iván Máté Domonkos, Kiss 152 Róbert Ádám, Kisszölgyémi Zsófia, Klement Tamás, Koós Andor, Kopcsa Domonkos, Körmendi György, Kriston Nándor, Ladányi Nóra, Márfai Dóra, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Móricz Margaréta Katalin, Nagy Anna Éva, Nagy Benedek Márk, Papp Zsófia, Pocsay Levente László, Polyányi Lora Molli, Pulka Gergely Tamás, Puskás Péter, Rási Bence, Sándor Botond, Sebők Violetta Írisz, Sinka Vince, Szabó Donát, Szemző Dávid, Szolnoki Máté Tódor, Ujpál Bálint, Vincze Máté, Wodala Gréta Klára.
3 points:	26 students.
2 points:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022