Problem K. 726. (March 2022)

K. 726. Arrange the numbers \(\displaystyle 1, 2, 3, 4, \dots, 31, 32\) along the circumference of a circle such that the sum of any pair of adjacent numbers should be a perfect square. Explain your reasoning.

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A megadott számokkal a 4, 9, 16, 25, 36, 49 négyzetszámok jöhetnek szóba.

25, 26, ..., 32 esetén közülük bármelyiknek adott a két szomszédja, mert csak 36-ra, illetve 49-re lehet őket kiegészíteni. Így 24 szám hármas csoportokba kapcsolódik: (11, 25, 24), (10, 26, 23), (9, 27, 22), (8, 28, 21), (7, 29, 20), (6, 30, 19), (5, 31, 18) és (4, 32, 17).

A kimaradó 1, 2, 3, 12, 13, 14, 15, 16 számokkal próbáljuk összekapcsolni a hármasokat, vagy egymással a feltétel szerint.

Az 1 csak a 8-at és a 24-et kapcsolhatja össze: (11, 25, 24) 1 (8, 28, 21); vagy pedig a 15-öt a 8-cal vagy a 24-gyel; vagy a 3-at akár a 15-tel, akár a 8-cal vagy a 24-gyel.

A 2 csak a 7-et és a 23-at kapcsolhatja össze: (10, 26, 23) 2 (7, 29, 20) vagy pedig a 14-et a 7-tel vagy a 23-mal.

A 3 csak a 6-ot és a 22-t kapcsolhatja össze: (9, 27, 22) 3 (6, 30, 19) vagy pedig a 13-at a 6-tal vagy a 22-vel.

Innen van pár lehetőség és elágazáshoz érve visszalépéses algoritmust használva, némi próbálkozás után kialakul egy jó sorrend:
11, 25, 24, 12, 13, 3, 6, 30, 19, 17, 32, 4, 21, 28, 8, 1, 15, 10, 26, 23, 2, 14, 22, 27, 9, 16, 20, 29, 7, 18, 31, 5 és 5+11=16, így körbeérve jó.

Statistics:

40 students sent a solution.
5 points:	Bérczes Botond, Császár Milán, Deményi Zalán, Domján István, Fülöp Máté, Garamszegi Hanna, Iván Máté Domonkos, Jakubovics Kinga, Kiss 152 Róbert Ádám, Kopcsa Domonkos, Körmendi György, Kriston Nándor, Márfai Dóra, Medgyesi Júlia, Mindszenti Balázs, Nagy Anna Éva, Papp Zsófia, Pulka Gergely Tamás, Sebők Violetta Írisz, Szabó Donát, Személyi Sebestyén Gábriel, Tóth 119 Réka, Ujpál Bálint.
4 points:	Bencze Mátyás, Cserni Valentin, Kisszölgyémi Zsófia, Ladányi Nóra, Pocsay Levente László, Sándor Botond.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2022