Problem K. 731. (September 2022)

K. 731. A \(\displaystyle 4\times6\) rectangle is to be covered, without overlaps, with tiles congruent to the L-shape shown in the figure. The L-shaped tiles may be rotated or turned over as needed. Are there at least 36 different arrangements possible?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2022.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle 2\times4\)-es téglalapot kétféleképpen lehet lefedni.

\(\displaystyle 4\times6\)-os téglalapot 3-féleképpen lehet szétbontani \(\displaystyle 2\times4\)-es téglalapra, minden esetben 3 ilyen téglalapot használtunk.

Mindhárom esetben \(\displaystyle 2\cdot2\cdot2=8\) lehetőség van, így összesen 24. (Közöttük azonosak nincsenek.) Például:

\(\displaystyle 4\times4\)-es téglalapot kétféleképpen lehet lefedni (úgy, hogy nem két darab \(\displaystyle 2\times4\)-es téglalapból áll össze).

Ezek mellé egy-egy \(\displaystyle 2\times4\)-es téglalapot teszünk (balra, vagy jobbra), így ez is (\(\displaystyle 2\cdot2)\cdot2=8\) lehetőség a lefedésre. Íme a 8 lehetőség egyik fele:

Olyan lefedés is van, amelyik korábban nem szerepelt, ez a négy az egyik \(\displaystyle 4\times4\)-es lefedésből származik és van még négy ilyen a másikból is.

Így összesen 40 lefedést találtunk, tehát van legalább 36 lefedés. (Azt nem bizonyítottuk, hogy nincs több.)

Statistics:

88 students sent a solution.
5 points:	Barna 201 Krisztina, Bodor Csanád, Castro Csongor, Csikai Anna Alida, Ébner Jakab, Engi Zita, Farkas Máté, Forrai Boldizsár, Gacsályi Maja, Gárdi Bonifác István, Gyukity Milán, Hajós Boróka, Hodossy-Takács Ráhel, Juhász Noel, Kaposi-Ly Dávid, Kökény Kristóf, Libor Andrea, Mátyus Rebeka, Molnár Lili, Nguyen Minh Kien, Sárecz Bence, Sipos Márton, Stancsics Panna, Stingli Zsuzsanna, Szabó 926 Bálint, Szabó 926 Bence, Szakács Bence Mihály, Szlivka Mihály, Tóth 207 Bence, Zhu Yi.
4 points:	Balogh Bendegúz, Agárdi Balázs, Bartók Márton, Bartusková Viktória, Eőry Sára , Glavosits Bende, Pulka Gergely Tamás, Tóth Hanga Katalin, Virág Eszter.
3 points:	9 students.
2 points:	4 students.
1 point:	6 students.
0 point:	8 students.
Unfair, not evaluated:	17 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2022