Problem K. 751. (January 2023)

K. 751. We have five chocolate trufles, all of them look alike. However, three of them weigh 20 g each, one weighs 19 g, and one weighs 21 g. We want to identify the 19-g trufle with the help of an equal-arm balance only. Prove that it is possible to do it by using the balance three times, but less than three is not enough.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a csokigolyókat A, B, C, D és E.

Először azt mutatjuk meg, hogy három mérés elég:

Mérjük meg A-t és B-t!

I.Ha egyensúlyban vannak (mindkettő 20 g-os), mérjük meg C-t és D-t! Egyensúlyban nem lehetnek, így mindenképpen kiderül, melyik a könnyebb. Ezt a csokigolyót mérjük meg E-vel. A könnyebb lesz a 19 g-os.

II.Ha A és B nincsenek egyensúlyban, akkor mérjük meg C-t és D-t.

1.Ha C és D egyensúlyban vannak, akkor A és B közül a könnyebbel mérjük meg E-t. A könnyebb lesz a 19 g-os.

2.Ha C és D nincsenek egyensúlyban, akkor a könnyebbel mérjük össze az A és B közül a könnyebbet. A könnyebb lesz a 19 g-os.

Most megmutatjuk azt, hogy két mérés nem elég:

Ha az első mérés 1-1 csokigolyó összemérése és egyensúly van (20 g-20 g), akkor kimaradt a 19, a 20 és a 21 g-os csokigolyó, és egy méréssel kellene kiválasztani, melyik a 19-g-os. Ha 1-1 csokigolyót teszünk a mérlegre, akkor nem tudjuk megmondani, melyik a 19 g-os. (Akár e három kimaradóból teszünk fel 1-1-et, akár az egyik kimért 20 g-os csokigolyóval mérjük, nem lehetünk biztosak a sikerben: előbbi esetben a könnyebb vagy a kimaradó lehet a 19 g-os, utóbbiban a három kimenetel közül csak az egyikben tudunk választ adni, akkor, ha a kimaradó csokigolyó könnyebbnek bizonyul a 20 g-osnál.) Nyilván másodjára 2-2 csokigolyót feltéve hasonlóan nem juthatunk semmire. Ha az első mérés 1-1 csokigolyó összemérése és nincs egyensúly, akkor kimaradhat a \(\displaystyle 20, 20, 21\), a \(\displaystyle 20, 20, 20\) vagy a \(\displaystyle 19, 20, 20\) csokigolyó-hármas. Ezek közül csupán egy további méréssel a 19 g-os csokigolyó csak akkor lenne biztosan kiválasztható, ha pontosan tudnánk, hogy a mérlegen a 19 g-os és a 21 g-os csokigolyó van. Ez nyilván nem dönthető el egyértelműen, hiszen az első mérésnél a mérlegen lehet a \(\displaystyle 19, 20\) és a \(\displaystyle 20, 21\) grammos pár is. Ha az első mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze, akkor egyenlőség esetén (AB = CD) csak az derül ki, hogy az ötödik csokigolyó (E) 20 g-os és a 19 g-os és 21 g-os egy oldalon vannak a mérlegen, de nem tudjuk, melyiken.

A második méréssel ezt kideríteni nem tudjuk, az alábbiakban leírtak miatt:

Ha a második mérésben egy-egy csokigolyót mérünk össze, akkor azonos oldalról választva egyenlőség esetén (a két 20 g-osat mértük meg) nem tudjuk, hogy a másik kettőből melyik a 19 g-os, különböző oldalról választva pedig a garantált nem egyenlőség esetén nem tudjuk, hogy a 19-20, vagy a 20-21g-os golyópár van-e a mérlegen. Ha a második mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze, akkor ezt megtehetjük az eredeti négy csokigolyó közül kettő felcserélésével. Pl. AC-t és BD-t mérjük össze. Ekkor garantált, hogy mindkét oldalon van egy 20 g-os csokigolyó és a másik kettő (a 19 g-os és a 21 g-os) különböző oldalon vannak, így amelyik a könnyebb, azon az oldalon van a 19 g-os, de azt nem tudjuk, hogy ez az ott maradt vagy a megcserélt csokigolyó. Ha a második mérésben 2-2 csokigolyót mérünk össze úgy, hogy valamelyik csokigolyót a négyből kitesszük, és helyette az ötödiket tesszük be (pl. AB-t és CE-t mérjük össze), akkor egyenlőség esetén csak annyit tudunk, hogy a nem cserélt oldalon (AB) van a 19 g-os, de, hogy melyik, azt nem tudhatjuk. Lényegében ugyanez a helyzet, ha az első mérésben 2-2 csokigolyót mérünk meg, és nincs egyenlőség. Ekkor a kimaradó 1 csokigolyó a \(\displaystyle 19, 20, 21\) grammos csokigolyók bármelyike lehet. Tehát legkevesebb három mérésre szükség van, és az elegendő is.

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Csikai Anna Alida, Ligeti Ábel, Molnár Lili, Móricz Zsombor, Szabó 926 Bálint, Tajta Sára.
4 points:	Bodor Csanád, Török Szilárd.
3 points:	14 students.
2 points:	17 students.
1 point:	10 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2023