Problem K. 775. (September 2023)

K. 775. A confectioner constructed a large almond paste shape by sticking together four cubes: two cubes having a 2 cm edge, one of edge 6 cm, and one of edge 8 cm. In each surface of contact, a face of one cube was lying entirely along a face of the other. A rectangular block is to be cut out of the combined shape, but cutting is only allowed along planes that form some face of an original cube. What is the largest possible volume that the resulting almond paste block may have?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az biztos, hogy a 6 cm élű kockát a 8 cm élű kocka egyik lapjához illesztjük. A 2 cm-es kockákkal viszont többféleképpen is befejezhetjük az építményt. Nézzük, hogy élhossz szerint milyen téglatesteket kaphatunk.

A legnagyobb élhossz, amit elérhetünk 8 + 6 + 2 + 2 = 18 cm, viszont ekkor a téglatest másik két éle csak 2-2 cm lehet, így a térfogat 72 cm\(\displaystyle ^{3}\).

A következő legnagyobb élhossz 8 + 6 + 2 = 16 cm, ekkor a másik két él 2 cm, illetve 4 cm lehet, a térfogat ekkor 128 cm\(\displaystyle ^{3}\).

14 cm élhosszúságú téglatestet is kaphatunk, ha a 2 cm-es kockákat levágjuk a téglatestről, így a másik két él lehet 6-6 cm, a térfogat pedig 504 cm\(\displaystyle ^{3}\).

12 cm élhosszúságú téglatestnél a másik két él 8 cm és 2 cm lehet, így a térfogat 192 cm\(\displaystyle ^{3}\).

10 cm élhossznál pedig 8 cm és 4 cm is lehet a másik két él, így a térfogat 320 cm\(\displaystyle ^{3}\).

Végül lehetséges az is, hogy a 6 cm élű kockát egy lapjával a 8 cm élű kockára helyezzük, ezután a két darab 2 cm-es kockát a már meglevő építmény egy-egy lapjára ragasztjuk a feltételeknek megfelelően. Ez többféleképpen is megvalósítható, bárhogyan is helyeztük el előzetesen a 6 cm-es kockát. Ha ezzel kész vagyunk, akkor a 8 cm-es kockáról levágjuk a megfelelő kockalappal párhuzamos sík mentén a 6 cm-es kockát és a két darab 2 cm-es kockát. Így speciális téglatestként megmarad a 8 cm-es kocka, ennek térfogata \(\displaystyle 8\cdot 8 \cdot 8=512\) cm\(\displaystyle ^{3}\). A legnagyobb elérhető térfogat tehát az \(\displaystyle 512\) cm\(\displaystyle ^{3}\).

Statistics:

152 students sent a solution.
5 points:	Bencze Anna Borbála, Farkas Simon, Ferencz Kevin, Fülöp Magdaléna, Gyerkó Anna, Halmosi Dávid, Kámán-Gausz Péter, Kapiller Ákos Péter, Kubica Ádám, Lupkovics Lázár, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Schmidt Marcell, Szabó Máté.
4 points:	Aranyi Laura, Debreczeni Huba, Hornyák Zalán Zétény, Kóródy Vera, Kőhidi Kata, Olajos Anna, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szekeres Anina, Tamás Attila Gábor.
3 points:	16 students.
2 points:	15 students.
1 point:	23 students.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	68 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023