Problem K. 776. (September 2023)

K. 776. A printing press is preparing tickets to be sold for an event. When the tickets themselves have been printed out, they are fed in a machine that prints numbers on them, always incrementing the number by 1. Unfortunately, owing to a disorder of the numbering machine each number divisible by 3 was printed twice in a row. In this way, a total of 3672 digits were used. (The starting number was 1.) How many tickets need to be numbered again when the numbering machine is fixed and operating correctly?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Tekintettel a nagy számjegyszámra feltételezhetjük, hogy a kiadott legnagyobb sorszám legalább háromjegyű volt. Ebben az esetben az egyjegyű sorszámokra \(\displaystyle 9+3=12\), a kétjegyű sorszámokra \(\displaystyle 90\cdot2+30\cdot2=240\) számjegyet használtunk el. Maradt tehát \(\displaystyle 3672-252 = 3420\) számjegy. Ha ezeket mind háromjegyű sorszámokra használták el, akkor összesen \(\displaystyle 1140\) db háromjegyű sorszámot nyomtattak ki. Mivel minden harmadik duplán szerepelt, ez kb. \(\displaystyle 4/3\)-szorosa a háromjegyű sorszámmal helyesen kiadott jegyek számának. Ennek alapján kb. \(\displaystyle 855\) helyes háromjegyű sorszám került kiadásra. Ellenőrizve a számításokat azt kapjuk, hogy \(\displaystyle 855\) háromjegyű sorszám esetén \(\displaystyle 285\) duplán kiadott szám jelenik meg, ez összesen \(\displaystyle 1140\) háromjegyű sorszámot jelent. Tehát a helytelenül kiadott sorszámok száma \(\displaystyle 3+30+285=318\), vagyis ennyi jegyet kell újranyomtatni a hibás sorszám miatt.

2. megoldás. Egyjegyű sorszámra 12 számjegyet használtak el, 9-et helyesen és 3-at a duplán számozott jegyekre. (Ez eddig 3 újraszámozandó jegy.) Kétjegyű sorszámra 240 számjegyet használtak el, \(\displaystyle 90\cdot2=180\) számjegyet helyesen, \(\displaystyle 30\cdot2=60\) számjegyet pedig a duplán számozott jegyekre. (Ez eddig \(\displaystyle 3+30=33\) újraszámozandó jegy.) Felhasználtak még \(\displaystyle 3672-(12+240)=3420\) számjegyet. Nézzük a háromjegyű sorszámot kapott jegyeket. Tekintsük közülük egy blokknak az olyan egymás után sorszámozott négy jegyet, amely két 3-mal nem osztható számú jegyet tartalmaz és az utánuk következő, már 3-mal osztható számú jegyből kettőt. (Az első blokk tehát a 100, 101, 102, 102 számokat viselő jegyekből áll.) Egy blokk számozásához 12 számjegy kell, tehát a 3420 számjegy pontosan 285 blokk számozására volt elég. Mivel \(\displaystyle 285\cdot3= 855\), így a legnagyobb kinyomtatott sorszám a \(\displaystyle 99+855=954\), vagyis négyjegyű sorszám már nem lesz. Minden blokkban egy olyan jegy van, ami helyett újat kell számozni, tehát összesen \(\displaystyle 3+30+285= 318\) darab jegyet kell újraszámozni.

Statistics:

146 students sent a solution.
5 points:	Bencze Anna Borbála, Csáki Anikó, Ferencz Kevin, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gáti Benjamin, Gazdag Lóránd, Gera Benedek Le, Hajnal Ákos Huba, Halmosi Dávid, Hamar Adrienn , Hegedűs Gergely, Hornyák Zalán Zétény, Ivák László, Juhász Aliz, Juhász Gergely, Juhász Zsombor, Kiss Domonkos László, Kóródy Vera, Kriston Regő Márton, Kubica Ádám, Lupkovics Lázár, Máté Kristóf, Novák Hunor, Olajos Anna, Ördög Dominik, Papp Hunor, Pázmándi Renáta , Poczai Dorottya, Roszik Szabolcs, Schmidt Marcell, Serfőző Dávid, Szabó Máté, Székely Belián, Szuhánszki Zalán, Tamás Attila Gábor, Tóth Bálint Levente.
4 points:	16 students.
3 points:	8 students.
2 points:	8 students.
1 point:	6 students.
0 point:	6 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	65 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2023