Problem K. 78. (February 2006)
K. 78. If the measure of the surface area of a cuboid (in unit squares) is subtracted from the sum of the measures of its edges (in length units), and the measure of the volume of the cuboid (in unit cubes) is added to the number obtained, the result will be 8. Prove that the measure of one of the edges is 2.
(6 pont)
Deadline expired on March 10, 2006.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: 8=4x+4y+4z-2(xy+xz+yz)+xyz. Ha ebbe az egyenlőségbe pl. z helyére 2-t helyettesítünk, akkor azonosságot kapunk, tehát ha a téglatest egyik élének hossza 2, akkor a másik két él mindegy, mekkora. Ha pl. z helyébe (2+a)-t helyettesítünk, akkor a zárójelek felbontása és összevonás után a 0=a.(xy-2x-2y+4) alakot kapjuk. A jobb oldali kifejezést szorzattá alakítva 0=a.(x-2).(y-2). Ez pontosan akkor teljesül, ha a=0 vagy x=2 vagy y=2, azaz ha valamelyik él hosszának mérőszáma 2.
Másképp: A 0=4x+4y+4z-2(xy+xz+yz)+xyz-8 egyenletben a jobb oldali kifejezés szorzattá alakítható: 0=(x-2)(y-2)(z-2). Ez akkor 0, ha valamelyik él hossza 2.
Statistics:
104 students sent a solution. 6 points: Balázs Gábor, Bálint Alexandra Mercédesz, Ballér Krisztián, Bárány Dávid, Bencs 111 Ferenc, Berinkei Ottó, Besnyő Réka, Borbás Bence, Csányi János Dániel, Csere Kálmán, Csintalan Georgina, Czapf Anna, Dániel Balázs, Erdész Zsombor Bálint, Fehér 002 Eszter, Glasenhardt Katalin, Honfi Dávid, Horváth 003 Péter, Huszár Kristóf, Iván Dávid, Izsó Dániel, Jób Eszter, Jónás Eszter, Kovács 002 Krisztina, Kovács Györgyi, Kovács Sarolta, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lang Péter, Lantos Tamás, Márki Róbert, Michael Swift, Németh Erika Judit, Nyerges Csaba, Penk Nikolett, Róka Péter, Rupert Szabolcs, Schlarb Krisztián, Solymos Tamás, Szabó 222 Rita, Szabó 313 Gábor, Szepesvári Dávid, Szikszay László, Tamási János, Tóth 256 Áron, Varga 151 Vince, Vincze Dávid, Virth Nobert. 5 points: 5 students. 4 points: 18 students. 0 point: 33 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2006