Problem K. 780. (October 2023)

K. 780. \(\displaystyle a)\) Is it possible to obtain a prime number as a result if two prime numbers are both added to their product? If so, give at least three examples. If not, explain why it is not possible.

\(\displaystyle b)\) Is it possible to obtain a prime number as a result if two prime numbers are both added to their product, and then 1 is added to the sum? If so, give at least three examples. If not, explain why it is not possible.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Igen, kaphatunk. Pl.: \(\displaystyle 2\cdot3+2+3=11\), \(\displaystyle 3\cdot5+3+5=23\), \(\displaystyle 2\cdot5+2+5=17\).

\(\displaystyle b)\) Két pozitív páratlan prímszám esetén nem kaphatunk prímet, mert a szorzatuk páratlan és így a négy páratlan szám összege páros lesz, ami nem lehet prím, hiszen 2-nél biztosan nagyobb.

Egy páros és egy páratlan prímszám esetén (tehát, ha az egyik prím a 2) az összeg \(\displaystyle 2p+2+p+1\), ami páros. Viszont nem lehet prím, hiszen 2-nél biztosan nagyobb.

Statistics:

168 students sent a solution.
5 points:	52 students.
4 points:	16 students.
3 points:	11 students.
2 points:	7 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	73 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2023