Problem K. 784. (November 2023)

K. 784. Let us replace the letters below with digits \(\displaystyle 0\)–\(\displaystyle 9\) (with the exception of one digit) such that the result of the subtraction of the two 3-digit numbers is the closest possible to \(\displaystyle 300\):

\(\displaystyle ABC - DEF = GHJ. \)

Prove that the result that has the smallest difference from \(\displaystyle 300\) can only be obtained in an unique way. (Different letters has to be replaced with different digits.)

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2023.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

A különbség \(\displaystyle 300\) nem lehet, mert ekkor a \(\displaystyle 0\)-t kétszer kéne felhasználnunk.

A különbség \(\displaystyle 301\) sem lehet. Ugyanis, ha a kivonásnál \(\displaystyle 10\)-es átlépés nem következik be a szám végén, akkor a tízesek helyén \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEF\) ugyanazt a számjegyet tartalmazza, ha viszont \(\displaystyle 10\)-es átlépés következik be, akkor az csak \(\displaystyle 0\) és \(\displaystyle 9\) végű számok között lehet, de \(\displaystyle 0\)-ból csak egyet használhatunk fel.

A különbség \(\displaystyle 299\) sem lehet, mert ekkor két \(\displaystyle 9\)-est kéne használnunk.

\(\displaystyle 298\) sem lehet az eredmény. Ha a kivonásnál nincs \(\displaystyle 10\)-es átlépés, akkor \(\displaystyle ABC\) és \(\displaystyle DEF\) utolsó számjegye \(\displaystyle 9\) és \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 8\) és \(\displaystyle 0\), de így számjegyismétlés lenne. Ha viszont tízes átlépés van, akkor az eredmény csak úgy végződhet \(\displaystyle 98\)-ra, ha a tízesek helyén a két számban azonos számjegy áll, pl. \(\displaystyle 465-167\). Ez sem megengedett, ezért a \(\displaystyle 298\) sem érhető el.

A \(\displaystyle 302\) elérhető, így ez a legkisebb eltérésű ilyen szám. A \(\displaystyle 302\) viszont kétféleképpen is előállítható a kívánt módon: \(\displaystyle 302=761-459\) és \(\displaystyle 302=871-569\). (Tehát az eredeti állítás nem igaz.)

Statistics:

86 students sent a solution.
5 points:	Csabai Samu, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Juhász Gergely, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Kapiller Ákos Péter, Kóródy Vera, Kőhidi Kata, Kubica Ádám, Lupkovics Lázár, Olajos Anna, Ördög Dominik, Papp Emese Petra, Pázmándi Renáta , Péterfia Kamilla, Schmidt Marcell, Szalóki Árpád, Székely Belián, Tamás Attila Gábor, Timár Vince , Válek Péter.
4 points:	Dóry Johanna, Gáti Benjamin, Kriston Regő Márton, Máté Kristóf, Németh Ábel, Szabó Máté, Terjék Temes.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	5 students.
0 point:	8 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	37 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023