Problem K. 786. (November 2023)
K. 786. Let \(\displaystyle X\) denote the sum of the squares of the first \(\displaystyle 50\) positive integers. Express the sum of the squares of the first \(\displaystyle 50\) positive even integers in terms of \(\displaystyle X\).
(5 pont)
Deadline expired on December 11, 2023.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
$$\begin{align*} 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 50^2 &= X,\\ 2^2 + 4^2 + 6^2 + \ldots + 100^2 &= (1 \cdot 2)^2 + (2 \cdot 2)^2 + (3 \cdot 2)^2 + \ldots + (50 \cdot 2)^2 = 1^2 \cdot 2^2 + 2^2 \cdot 2^2 + 3^2 \cdot 2^2 + \ldots + 50^2 \cdot 2^2 =\\ = 2^2 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 50^2) &= 2^2 \cdot X = 4X. \end{align*}$$Tehát az első \(\displaystyle 50\) pozitív páros szám négyzetének összege négyszerese az első \(\displaystyle 50\) pozitív egész szám négyzete összegének.
Statistics:
96 students sent a solution. 5 points: Chen Peidong, Csáki Anikó, Farkas Simon, Ferencsik Domonkos, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Jakob Siegel, Juhász Gergely, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Kriston Regő Márton, Máté Kristóf, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Pivárcsik Márk, Roszik Szabolcs, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Székely Belián, Timár Vince , Tóth Bálint Levente. 4 points: Csabai Samu, Dóry Johanna, Károly Kamilla , Németh Ábel, Paksy-Szabó Győző , Sasvári Zsófia , Szabó Medárd, Viczián Adél. 3 points: 4 students. 2 points: 1 student. 1 point: 5 students. 0 point: 5 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 47 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2023