Problem K. 790. (December 2023)

K. 790. The 100 richest people of Neverland had a dinner party in a room with 12 huge tables. Those with birthdays in the same month sat down at the same table. Let \(\displaystyle X\) denote the number of people around the table with the smallest number of people. Let \(\displaystyle Y\) denote the number of people around the table with the largest number of people. Find the greatest possible value of \(\displaystyle X\) and the smallest possible value of \(\displaystyle Y\).

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Sejthető, hogy \(\displaystyle X\) legnagyobb értéke, illetve \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke akkor jön létre, ha nagyjából egyforma létszámú ember ül minden asztalnál. Ha mindenhol 8-an ülnek, akkor az emberek száma 100-nál kevesebb, ha mindenhol 9-en ülnek, akkor 100-nál több. Tehát lesz legalább egy olyan asztal, ahol legalább 9-en ülnek, és lesz legalább egy olyan asztal, ahol legfeljebb 8-an. Vagyis állításunk az, hogy \(\displaystyle X\) legnagyobb értéke 8, \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke pedig 9.

Ezek az értékek meg is valósulhatnak, például ha négy asztalnál 9-9, a többi asztalnál 8-8 ember ül.

Ha a legkisebb létszámú asztalnál 9-en vagy annál többen lennének, akkor ez minden asztalra igaz lenne, vagyis az emberek száma \(\displaystyle 9\cdot12=108\) vagy ennél több lenne, de ez 100-nál több embert jelentene.

Ha a legnagyobb létszámú asztalnál 8-an vagy kevesebben lennének, akkor ez minden asztalra teljesülne, vagyis az emberek száma \(\displaystyle 8\cdot12=96\) vagy ennél kevesebb lenne, de ez 100-nál kevesebb embert jelentene. Tehát \(\displaystyle X\) maximuma 8, \(\displaystyle Y\) minimuma 9.

\(\displaystyle Y\) legkisebb értéke nem lehet 8 vagy annál kevesebb, mert akkor legfeljebb \(\displaystyle 12\cdot8=96\) ember ülne csak az asztaloknál. 9 viszont lehet \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke, mert ha például 4 asztalnál 9-en, 8 asztalnál 8-an ülnek, akkor \(\displaystyle Y\) értéke 9. \(\displaystyle X\) értéke nem lehet 9 vagy annál nagyobb, mert akkor legalább \(\displaystyle 12\cdot9=108\) embernek kellene az asztaloknál ülnie. 8 viszont lehet \(\displaystyle Y\) legkisebb értéke, mert például az előző – \(\displaystyle 4\cdot9+8\cdot8\) – ülésrend esetén \(\displaystyle X\) értéke 8.

Statistics:

125 students sent a solution.
5 points:	Bubálik Nóra, Farkas Simon, Ferencz Kevin, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kőhidi Kata, Ördög Dominik, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tálas Lídia Anna, Timár Vince , Viczián Adél.
4 points:	Chen Peidong, Csabai Samu, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Gazdag Lóránd, Gyerkó Anna, Hegedűs Gergely, Ivák László, Kóródy Vera, Kubica Ádám, Némethy Márk, Olajos Anna, Papp Emese Petra, Sajó Marcell 16, Schmidt Marcell, Sipos Dániel Sándor, Székely Belián, Tóth Bálint Levente, Ungár Vince.
3 points:	21 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	61 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023