Problem K. 791. (December 2023)

K. 791. \(\displaystyle a)\) Find all three digit numbers that are equal to four times the product of their digits.

\(\displaystyle b)\) Is it possible to find a three digit number that is equal to twice the product of its digits?

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A keresett szám mindenképpen osztható 4-gyel, hiszen a számjegyek szorzatának négyszeresével egyenlő. Így az utolsó számjegye páros, de emiatt a számjegyek szorzatának négyszerese nemcsak 2-nek, hanem 8-nak is (és persze 4-nek is) többszöröse lesz. Tehát a keresett négyjegyű szám osztható 8-cal, az utolsó két számjegyéből álló kétjegyű szám pedig osztható 4-gyel. A szám nem tartalmazhat 0-t egyik helyiértéken sem, mert ebben az esetben a számjegyek szorzata 0 lenne. A számban 5-ös számjegy sem szerepelhet, mert ekkor a számjegyek szorzatának négyszerese 0-ra végződne, tehát a szám is 0-ra végződne.

Mivel egy háromjegyű szám legalább akkora, mint az első számjegyének 100-szorosa, ezért a három számjegy szorzatának négyszerese legalább az első számjegy szorzatának 100-szorosa, így a második két számjegy szorzata legalább 25. Emiatt az utolsó számjegy nem lehet 2.

Figyelembe véve az előzőekben mondott feltételt, és a 4-gyel oszthatóságot, az alábbi lehetséges értékeket kapjuk az utolsó két számjegyből álló számra:

\(\displaystyle 84, 76, 96, 48, 68, 88.\)

Mivel egy háromjegyű szám 1000-nél kisebb, ezért a számjegyek szorzata 250-nél kisebb. Figyelembe véve, hogy csak a 8-cal osztható számok felelhetnek meg, a szóba jöhető végződéseket az alábbi módon egészíthetjük ki egy első számjeggyel háromjegyű számmá:

\(\displaystyle 184, 384, 784,\)

\(\displaystyle 176, 376,\)

\(\displaystyle 296, 496,\)

\(\displaystyle 248, 448, 648,\)

\(\displaystyle 168, 368,\)

\(\displaystyle 288.\)

Ezeket a számokat például a számjegyek szorzata négyszeresének utolsó számjegyét ellenőrizve a 384 és a 648 kivételével kizárhatjuk. A két megmaradt szám közül csak a 384 felel meg, mert \(\displaystyle 3\cdot8\cdot4\cdot4=384\), viszont \(\displaystyle 6\cdot4\cdot8\cdot4=768\neq 648\).
Vagyis a 384 az egyetlen olyan szám, amely a feladat feltételeinek megfelel.

\(\displaystyle b)\) Az a) feladatban alkalmazott gondolatmenettel az alábbi következtetésekre juthatunk:

a keresett szám osztható 4-gyel, utolsó számjegye páros, egyik számjegye sem lehet 0 vagy 5, utolsó két számjegyének szorzata legalább 50.

Ez utóbbi feltétel kizárja a 0, 2, 4-re végződő számokat, a 6-ra végződők közül csak a 96-ra, a 8-ra végződők közül csak a 78, 88, 98-ra végződők jöhetnek szóba, de a 4-gyel oszthatóság miatt csak a 96 és a 88 marad meg lehetőségként.

Mivel a 96-os végződés esetén a számnak 9-cel oszthatónak kell lenni (a számjegyek szorzata osztható 9-cel), ezért csak a 396 jöhet szóba. Ez nem teljesíti az eredeti feltételt, mert \(\displaystyle 3\cdot9\cdot6\cdot2 = 324\).

A 88-as végződés esetén a számjegyek szorzata 8-cal mindenképpen osztható, így csak a 288, 488, 688, 888 merül fel lehetőségként. A számjegyek szorzatának kétszerese ezek esetében rendre \(\displaystyle 4\cdot64\), \(\displaystyle 8\cdot64\), \(\displaystyle 12\cdot64\) és \(\displaystyle 16\cdot64\), ezek közül csak a \(\displaystyle 12\cdot64\) végződik 8-ra, de \(\displaystyle 12\cdot64 = 768\), így nem találunk a feltételnek megfelelő háromjegyű számot.

Megjegyzés: Ha az a) feladatban a számjegyek szorzatának 5-szörösét keressük, akkor talán kevesebbre lehet redukálni az esetek számát. Megmutatható, hogy minden számjegy páratlan, így az utolsó számjegy 5, és a szám osztható 25-tel is, tehát csak 75-re végződhet. Ilyen szám négy van, a 175, 375, 575, 975, ezek közül a 175 felel meg egyedül.

Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:	Csabai Samu, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Máté Kristóf, Németh Ábel, Pázmándi Renáta , Roszik Szabolcs, Schmidt Marcell, Szalóki Árpád, Szedmák Szabrina, Székely Belián, Szőke János, Viczián Adél.
4 points:	Araguas Mátyás, Chen Peidong, Farkas Simon, Károly Kamilla , Válek Péter.
3 points:	9 students.
2 points:	5 students.
1 point:	9 students.
0 point:	7 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	32 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2023