Problem K. 800. (February 2024)

K. 800. The sum of four distinct prime numbers is 50. What can these four primes be?

(5 pont)

Deadline expired on March 11, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. A 2 biztosan nem szerepel a prímek között, mert akkor páratlan lenne az összegük.

A prímszámok 48-ig: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

A legkisebb prímszám közülük legfeljebb 7 lehet, mert \(\displaystyle 11+13+17+19>50\).

Ha a 7 a legkisebb: 7+11+13+17=48 a legkisebb elérhető összeg, amit 2-vel kell növelnünk, hogy megfelelő legyen és erre az egyetlen lehetőség a 7, 11, 13, 19 választás.

Ha az 5 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 45.

A legnagyobb szereplő prím szerint keressük meg az összes lehetőséget.

43, 41 nyilván nem lehet a legnagyobb. 37+3+5 (nem megfelelő, mert 3 a legkisebb és az 5 kétszer szerepel). 31+7+7 (nem megfelelő), 29+3+13 (nem megfelelő), 29+5+11 (nem megfelelő), 23+3+19 (nem megfelelő), 23+5+17 (nem megfelelő) 23+11+11 (nem megfelelő).

19+7+19 (nem megfelelő), 19+13+13 (nem megfelelő). 17+11+17 (nem megfelelő).

Tehát nem találtunk olyan megfelelő prímnégyest, melyben az 5 a legkisebb.

Ha a 3 a legkisebb, akkor a másik három prímszám összege 47.

Mivel a következő két prím összege 5+7=12, így a szereplő legnagyobb prím legfeljebb 35 lehet.

31+5+11 (jó), 29+5+13 (jó), 29+7+11 (jó), 23+5+19 (jó), 23+7+17 (jó), 23+11+13 (jó), 19+11+17 (jó).

Összesen tehát nyolc megfelelő prímszámnégyest találtunk:

7+11+13+19, 3+5+11+31, 3+5+13+29, 3+7+11+29, 3+5+19+23, 3+7+17+23, 3+11+13+23, 3+11+17+19.

2. (alternatív) megoldás. Legyenek a feladatban szereplő különböző pozitív prímszámok \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\). Nem sérti az általánosságot, ha feltesszük, hogy

amelyekre a feltétel szerint teljesül, hogy

ahol a \(\displaystyle p\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) prímek mindegyike a

\(\displaystyle 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\, 13,\, 17,\, 19,\, 23, \,29,\, 31,\, 37,\, 41,\, 43,\, 47\)

prímek közül kerül ki, hiszen ezek fordulnak elő \(\displaystyle 50\)-ig.

A legkisebb prím \(\displaystyle p\), és ez nem lehet \(\displaystyle 2\), mert akkor \(\displaystyle q+r+s=48\), de a \(\displaystyle 48\) nem lehet \(\displaystyle 3\) darab páratlan prímszám összege.

A feladat megoldását a továbbiakban az (1) egyenlőtlenségeknek megfelelően a legkisebb prímszám megkeresésére alapozzuk.

Világos, hogy \(\displaystyle p\leq 7\), hiszen \(\displaystyle p>7\) esetén a \(\displaystyle 7\)-nél nagyobb négy legkisebb prím összegére

\(\displaystyle 11+13+17+19=60,\)

és ez ellentmond (2)-nek. Ezért elegendő a

\(\displaystyle p=3,\quad p=5,\quad p=7\)

esetek vizsgálata.

I. eset. Ha \(\displaystyle p=3\). akkor (2) szerint \(\displaystyle q+r+s=47\) és az összeadandó prímek közül a legkisebb \(\displaystyle q\). Ha most \(\displaystyle q=5\), akkor \(\displaystyle r+s=42\), és ez csak a következő esetekben állhat fenn:

\(\displaystyle r+s=11+31=42,\quad r+s=13+29=42,\quad r+s=19+23=42,\)

a többi esetben \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) közül legalább az egyik nem prímszám, továbbá nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle r>19\) nem lehetséges, hiszen \(\displaystyle r<s\) és \(\displaystyle r+s=42\).

Ha pedig \(\displaystyle q=7\), akkor \(\displaystyle r+s=40\), egyszerű számolással láthatjuk, hogy ez az összeg csak az

\(\displaystyle r+s=11+29=40,\quad r+s=17+23=40\)

esetekben fordulhat elő, és az is nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle r>17\) nem ad megoldást.

A \(\displaystyle q=11\) esetben \(\displaystyle r+s=36\), ez csak a következőképpen lehetséges:

\(\displaystyle r+s=13+23=36,\quad r+s=17+19=36,\)

és \(\displaystyle r>17\) már nem ad megoldást, mert \(\displaystyle r<s\).

A \(\displaystyle q\geq 13\) nem fordulhat elő, mert már \(\displaystyle q=13\)-ra is \(\displaystyle r+s=34\) és \(\displaystyle r>q\) miatt \(\displaystyle r\geq 17\), ugyanakkor (1) miatt \(\displaystyle r<s\).

II. eset. Ha a legkisebb prímre \(\displaystyle p=5\), akkor (2) miatt \(\displaystyle q+r+s=45\). Az összegben szereplő prímek közül a legkisebb \(\displaystyle q\), amelyre egyrészt \(\displaystyle q\geq 7\), ugyanakkor \(\displaystyle q<13\), utóbbi nyilván azért, mert már \(\displaystyle q=13\) esetén is \(\displaystyle r+s=32\), és ebben az összegben \(\displaystyle r\) legalább \(\displaystyle 17\), de akkor nem teljesülne, hogy \(\displaystyle r<s\).

Eszerint csak a \(\displaystyle q=7\) és \(\displaystyle q=11\) lehetőségeket kell megvizsgálni, ekkor \(\displaystyle r+s=38\), illetve \(\displaystyle r+s=34\). Számolással egyszerűen belátható, hogy egyik esetben sem kapunk a feltételeknek megfelelő megoldást, mert az összeadandó \(\displaystyle r\), \(\displaystyle s\) számok közül legalább az egyik nem prím, vagy \(\displaystyle r<s\) nem áll fenn. Ebből az következik, hogy \(\displaystyle p\neq 5\).

III. eset. A \(\displaystyle p=7\) prím esetén \(\displaystyle q+r+s=43\). Ebben az összegben a legkisebb prímre az (1) feltétel miatt \(\displaystyle q\geq 11\)-nek kell teljesülnie. A \(\displaystyle q=11\) értéket választva \(\displaystyle r+s=32\), ez csak egyféle módon, az

\(\displaystyle r+s=13+19=32\)

alakban írható fel, mert a többi esetben nem teljesül, hogy \(\displaystyle q<r<s\). Ebből világosan látható, hogy \(\displaystyle q>11\) sem lehetséges.
Minden esetet megvizsgáltunk és összesen \(\displaystyle 8\), a feladat minden feltételének eleget tevő megoldást kaptunk, ezeket a következő táblázatban foglaltuk össze:

Statistics:

94 students sent a solution.
5 points:	Chen Peidong, Csáki Anikó, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Juhász Zsombor, Kóródy Vera, Kriston Regő Márton, Olajos Anna, Pázmándi Renáta , Sajó Marcell 16, Szabó Máté, Szalóki Árpád, Tóth Bálint Levente, Viczián Adél.
4 points:	Csabai Samu, Farkas Simon, Gáti Benjamin, Juhász Gergely, Kámán-Gausz Péter, Kőhidi Kata, Kubica Ádám, Máté Kristóf, Miskolci Ábel, Német 964 István , Németh Ábel, Péterfia Kamilla, Piller Zsófia, Pintér Lilianna, Sárvári Vanda, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szedmák Szabrina, Válek Péter.
3 points:	7 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	43 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2024