Problem K. 805. (March 2024)

K. 805. Let us draw a small equilateral triangle, and let's surround it with identical small triangles in a single layer to form a larger equilateral triangle. Let us also surround this second equilateral triangle with small triangles to form an even larger triangle, and so on. (See figure.)

\(\displaystyle a)\) How many small triangles will the twentieth such triangle contain?

\(\displaystyle b)\) How many small triangles will the \(\displaystyle n^{\text{th}}\) such triangle contain?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A háromszögek oldalhossza minden lépésben \(\displaystyle 1+2=3\) egységgel nő (lásd az ábrát).

\(\displaystyle a)\) A 20. háromszög oldalának hossza így \(\displaystyle 1+19\cdot3=58\). Az alsó sorban \(\displaystyle 58+57=115\) kis háromszög van. A második sorban \(\displaystyle 57+56=113\), és így tovább.

\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle n\)-edik háromszög oldalának hossza az a) feladat megállapítása alapján \(\displaystyle 1+(n-1)\cdot3=3n-2\). Az alsó sorban \(\displaystyle 3n-2+3n-3=6n-5\) kis háromszög van. A második sorban \(\displaystyle 3n-3+3n-4=6n-7\), és így tovább.

A kis háromszögek száma: \(\displaystyle (6n-5)+(6n-7)+(6n-9)+\dots+5+3+1\), ami egy (\(\displaystyle 3n-2\))-tagú összeg, így az eredmény \(\displaystyle =(6n-4)\cdot(3n-2):2=(3n-2)^2\).

Statistics:

64 students sent a solution.
5 points:	Juhász Zsombor, Olajos Anna.
4 points:	Chen Peidong, Fülöp Magdaléna, Gaál Gergely, Gyerkó Anna, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Németh Ábel, Pázmándi Renáta , Piller Zsófia, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szalóki Árpád, Timár Vince , Viczián Adél.
3 points:	16 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	26 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024