Problem K. 806. (March 2024)

K. 806. Gizi should have solved inequality \(\displaystyle {\frac{4}{x-2}>5}\), however, she has accidentally replaced 5 with another positive integer. She has solved the modified inequality correctly, and obtained \(\displaystyle 2<x<4\). Find the positive integer that has been written instead of 5 in the inequality.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2024.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Bármilyen pozitív egész \(\displaystyle n\) szám kerül az \(\displaystyle 5\) helyére, \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{x-2}>0}\) teljesülni fog, vagyis \(\displaystyle x–2>0\). Emiatt a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{x-2}>n}\) egyenlőtlenség mindkét oldalát (\(\displaystyle x–2\))-vel megszorozva a relációjel nem fordul meg, így kapjuk a \(\displaystyle 4>nx-2n\) egyenlőtlenséget, ahonnan rendezéssel

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{4+2n}{n}>x}.\)

Mivel a megoldás második része \(\displaystyle 4>x\) lett, ezért \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4+2n}{n}=4}\), ahonnan \(\displaystyle n=2\).
Ellenőrizhető, hogy a \(\displaystyle \displaystyle{\frac{4}{x-2}>2}\) egyenlőtlenség megoldása valóban \(\displaystyle 2<x<4\).

Statistics:

76 students sent a solution.
5 points:	Bihi Boglárka, Csáki Anikó, Kovács 007 Benedek, Kőhidi Kata, Kriston Regő Márton, Pázmándi Renáta , Szabó Máté, Szalóki Árpád.
4 points:	Araguas Mátyás, Bubálik Nóra, Chen Peidong, Farkas Simon, Feith Benedek, Fülöp Magdaléna, Gáti Benjamin, Hajnal Ákos Huba, Ivák László, Juhász Zsombor, Kámán-Gausz Péter, Károly Kamilla , Máté Kristóf, Olajos Anna, Ördög Dominik, Piller Zsófia, Sajó Marcell 16, Sipos Dániel Sándor, Sipos Levente, Szabó Medárd, Szedmák Szabrina, Tamás Attila Gábor, Válek Péter, Viczián Adél.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
1 point:	8 students.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	29 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2024