Problem K. 850. (March 2025)

K. 850. The teacher has written a two-digit positive prime number and a non-zero digit on the blackboard. Each one of Sanyi, Kati, and Joli has created a three-digit number from the numbers on the blackboard. Sanyi has written the digit behind the prime number written on the blackboard, Kati has written the digit between the digits of the given prime number, and Joli has written the digit in front of the given prime number. Sanyi's number was 45 more than Kati's number and 225 more than Joli's number. Find the prime number and the digit chosen by the teacher.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle \overline{ab}\) a kétjegyű prímszámot, és \(\displaystyle c\) a felírt számjegyet. Sanyi száma \(\displaystyle 100{a}+10{b}+{c}\), Katié \(\displaystyle 100{a}+10{c}+{b}\), Joláné \(\displaystyle 100{c}+10{a}+{b}\). A megadott feltételekből \(\displaystyle 100{a}+10{b}+{c} = 100{a}+10{c}+{b}+45\), rendezve \(\displaystyle b-c = 5\). A két feltételt összevetve Kati és Joli száma közt 180 az eltérés Kati száma javára, így \(\displaystyle 100{a}+10{c}+{b} = 100{c}+10{a}+{b}+180\), rendezve \(\displaystyle a-c = 2\).

Tehát ha \(\displaystyle {a} = {c}+2\) és \(\displaystyle {b} = {c}+5\), akkor az \(\displaystyle \overline{ab}\) és \(\displaystyle c\) számok megfelelnek a feltételeknek. A lehetőségek: 1 és 36, 2 és 47, 3 és 58, 4 és 69. A kapott kétjegyű számok közül csak a 47 prím, így a felírt prímszám a 47, a felírt számjegy a 2. Ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle 472 - 427 = 45\) és \(\displaystyle 472 - 247= 225\).

Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:	53 students.
4 points:	26 students.
3 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025