Problem K. 869. (October 2025)

K. 869. The average, median, mode and range of five not necessarily distinct integer numbers are 69, 83, 85 and 70, respectively. Find the second smallest of the five numbers.

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a számok növekvő sorrendben \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\). Világos, hogy ekkor a medián megadott értéke miatt \(\displaystyle C=83\). A számok nem lehetnek mind egyenlők, mert akkor az átlag szerint mindegyik \(\displaystyle 69\) lenne, de ez ellentmond a medián, a módusz és a terjedelem megadott értékének. Nyilvánvaló, hogy a módusz csak \(\displaystyle C=D=85\) lehet és emiatt \(\displaystyle A\neq B\), mert akkor két módusza lenne az adatsornak. Ezért csakis \(\displaystyle A < B < 83 < 85 = 85\) lehetséges, és így a terjedelemből következően \(\displaystyle 85 – 70 = 15=A\). Végül az átlag miatt \(\displaystyle \displaystyle{\frac{15+B+83+85+85}{5}= 69}\), amiből \(\displaystyle B = 77\) adódik, tehát a második legkisebb szám a \(\displaystyle 77\).

Statistics:

178 students sent a solution.
5 points:	78 students.
4 points:	40 students.
3 points:	28 students.
2 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	10 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	12 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025