Problem K. 880. (December 2025)
K. 880. Eight three-legged dragons formed a choir. As we all know, a three-legged dragon can have one, three, seven, or nine heads. The three-headed ones are sopranos, the seven-headed ones are mezzos, the nine-headed ones are all altos, and the one-headed ones do not sing, they can only be choir leaders. The dragons have altogether twice as many heads as legs. How many heads could have sung each voice of the famous three-voice choral piece: “I wish I were a rosebud”.
(5 pont)
Deadline expired on January 12, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A nyolc sárkánynak 24 lába van, így a fejek száma 48.
Az alábbi táblázat a sárkányok számának szisztematikus alakításával az összesen 48 fejet tartalmazó eseteket mutatja be. (A ... az adott részesetben azt jelzi a táblázatban, hogy azt tovább nézni nem érdemes, mert a sárkányok száma nőni fog.)
| kilencfejű | 5 | 5 | 4 | 4 | 4 | ... | 3 | 3 | 3 | ... | 2 | 2 | 2 | ... | 2 | ... | 1 | 1 | 1 | ... | 0 | 0 | ... | 0 | ... |
| hétfejű | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ... | 3 | 2 | 2 | ... | 4 | 3 | 3 | ... | 2 | ... | 5 | 5 | 4 | ... | 6 | 6 | ... | 5 | ... |
| háromfejű | 1 | 0 | 1 | 0 | 4 | ... | 0 | 2 | 1 | ... | 0 | 3 | 2 | ... | 5 | ... | 1 | 0 | 3 | ... | 2 | 1 | ... | 4 | ... |
| egyfejű | 0 | 3 | 2 | 5 | 0 | ... | 0 | 1 | 4 | ... | 2 | 0 | 3 | ... | 1 | ... | 1 | 4 | 2 | ... | 0 | 3 | ... | 1 | ... |
| sárkányok száma | 6 | 8 | 8 | 10 | 8 | 6 | 8 | 10 | 8 | 8 | 10 | 10 | 8 | 10 | 10 | ... | 8 | 10 | 10 |
A táblázatból jól látható, hogy nyolc olyan eset van, amikor a sárkányok száma \(\displaystyle 8\) és összesen \(\displaystyle 48\) fejük van. Ebből a nyolc esetből azonban a feladat szövegének csak azok felelnek meg, amelyeknél a kilenc, hét, illetve háromfejűek számának egyike sem \(\displaystyle 0\), hiszen a kórusmű háromszólamú. Ennek csak négy lehetőség felel meg, éspedig azok, amikor a kilencfejűek, hétfejűek és háromfejűek száma rendre
\(\displaystyle (4, 1, 1);\qquad (3, 2, 2); \qquad (2, 3, 3);\qquad (1, 5, 1).\)
Eszerint az alt, mezzo és szoprán szólamot rendre
\(\displaystyle (36, 7, 3);\qquad (27, 14, 6); \qquad (18, 21, 9);\qquad (9, 35, 3)\)
fej énekelhette.
Megjegyzés. A négy eset közül a \(\displaystyle (2, 3, 3)\) kivételével mindegyikhez tartozik legalább egy egyfejű sárkány, azaz karvezető. A kórus persze karvezető nélkül is megszólalhat.
Statistics:
120 students sent a solution. 5 points: Araczki Ádám, Árvai Csongor, Becker Borbála Réka, Berencsi Linett, Cseh Sára Éva, Csutak András, Dong Xueni, Egyedi Bernadett, Gazsi Levente, Gusztony Dániel, Halmosi Gergely, Hegyi Bálint Botond, Juhász-Nagy Lili, Káló Luca, Komlósi Emma Julianna, Kovács Dániel József , Körmöndi Csanád, Kövecses Lénárd, Lazarovits Frida, Mileff Péter, Molnár Benedek, Németh Fanni, Olti Tamás, Pakó Barnabás, Palik Ábris Csanád, Papp Dénes, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Tóth Kinga, Verebély Nadin, Zsuppán Annamária. 4 points: 32 students. 3 points: 16 students. 2 points: 26 students. 1 point: 10 students. 0 point: 2 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 3 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025