Problem K. 885. (January 2026)

K. 885. Every morning, Peti drinks either cocoa or fruit juice (but only one of them). Drinking cocoa is a two-day activity in the sense that the cocoa-drinking periods consist of even number of days. How many ways are there to choose his morning drinks in the first ten days of February?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vizsgáljunk először rövidebb időszakot, nézzük meg, hogy 1, 2, 3, \(\displaystyle \ldots\) napos időszak hányféleképpen alakulhat a reggeli innivaló szempontjából. Rövidítsük a kakaót \(\displaystyle k\), a gyümölcslét \(\displaystyle g\) betűvel.

Az egy nap hosszúságú időtartamra egy lehetőség van: \(\displaystyle g\). Két nap hosszúságúra kettő: \(\displaystyle gg\), \(\displaystyle kk\), három nap hosszúságúra három: \(\displaystyle ggg\), \(\displaystyle gkk\), \(\displaystyle kkg\). A négy nap hosszúságú időtartamra már öt megfelelő lehetőség adódik: \(\displaystyle gggg\), \(\displaystyle ggkk\), \(\displaystyle gkkg\), \(\displaystyle kkgg\), \(\displaystyle kkkk\).

A kezdeti tapasztalatok után próbáljunk meg általánosabb megállapítást tenni.

Egy öt nap hosszú időtartam vagy kakaóval, vagy gyümölcslével végződik. Ha az utolsó nap \(\displaystyle k\), akkor az utolsó kettő nap csak \(\displaystyle kk\) lehet. Az ilyen sorozatok száma viszont egyezik a háromnapos megfelelő sorozatok számával, tehát három \(\displaystyle k\) végű eset van. A \(\displaystyle g\) végződésűekről pedig az mondható el, hogy számuk egyezik a négynapos italsorozatok számával, ami 5. Tehát \(\displaystyle 3+5=8\)-féle módon alakulhat egy 5 nap hosszú időtartam reggeli innivaló szempontjából.

Az előbb látott módszer általánosan is működik: egy \(\displaystyle n\)-napos időtartam italsorozatainak száma egyezik az (\(\displaystyle n-1\))-napos és az (\(\displaystyle n-2\))-napos időtartam italsorozatai számának összegével. E szabály alapján juthatunk el a 10-napos időtartamra vonatkozó lehetőségek számához, ahogy az az alábbi táblázatban olvasható:

Tehát összesen 89-féle módon alakulhat egy tíz nap hosszúságú időtartam a reggeli italok szempontjából.

Statistics:

114 students sent a solution.
5 points:	77 students.
4 points:	14 students.
3 points:	4 students.
2 points:	6 students.
1 point:	9 students.
0 point:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026