Problem K. 886. (January 2026)

K. 886. A tire of a car wears out if it runs 20,000 km when placed on the front wheel, or 30,000 km when placed on the rear wheel.

a) We have 4 fresh tires. What is the maximum number of kilometres we can travel if we can switch the tires between the front and the rear wheels? After how many kilometres should we switch tires between the front and the rear wheels to achieve the maximum distance?

b) We have 5 fresh tires. What is the maximum number of kilometres we can travel if we can switch the tires between the front and the rear wheels? How should we swap tires between the wheels to achieve the maximum distance?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Minden guminak ugyanannyi kilométert kell futnia az első keréken, mint amennyit a hátsó keréken. Ha nem így lenne, akkor valamelyik gumi többet, és valamelyik kevesebbet futna az első keréken, mint a hátsó keréken, de ezek nem egyformán kopnának, így valamelyik gumiban még maradna megtehető kilométer. Ha viszont ugyanannyit megy egy gumi elöl, mint hátul (legyen ez \(\displaystyle x\) km), akkor a teljes kopására az \(\displaystyle \dfrac{x}{30\,000}+\dfrac{x}{20\,000}=1\) összefüggés írható fel, ahonnan \(\displaystyle x = 12\,000\). Tehát a gumikkal összesen \(\displaystyle 24\,000\) km tehető meg, és \(\displaystyle 12\,000\) km megtétele után kell cserélni a gumikat az első és a hátsó kerekek között.

b) Öt gumi esetén is minden guminak ugyanannyit kell összesen futnia az első keréken, mint amennyit a hátsó keréken. Ha egy gumi \(\displaystyle 2x\) km-t bír így ki, akkor az 5 gumi összesen \(\displaystyle 10x\) kilométert ment, de mivel egyszerre 4 gumi volt az autón, az autó által megtett távolság \(\displaystyle \frac{10x}{4} = 2,5x\) km. Az előző esetből láthattuk, hogy \(\displaystyle x = 12\,000\), így az autó \(\displaystyle 2,\!5\cdot 12\,000=30\,000\) km-t tud megtenni. A megtett \(\displaystyle 2,5x\) km-ből egy-egy gumi \(\displaystyle x\)–\(\displaystyle x\) km-t ment az első, illetve a hátsó keréken, továbbá \(\displaystyle 0,5x\) km-t pihent. A cseréket tehát \(\displaystyle 6000\) km-enként kell bonyolítani, erre egy lehetséges megoldás az 5 guminak az alábbi körforgása:

Statistics:

97 students sent a solution.
5 points:	Árvai Csongor, Bachesz Kende, Csabai Blanka, Csutak András, Egyedi Bernadett, Farkas Dorka, Grochulski Hanna Rosa, Gusztony Dániel, Győrffy Réka Rebeka, Hajnal Kamilla, Halmosi Gergely, Ilija Botond, Joó László , Káplár Péter, Kovács Dániel József , Körmöndi Csanád, Kulcsár Dominik, Lajkó Linda, Leányvári Benjámin, Murányi Nimród Máté, Nagy 67 Benedek, Nagy Ádám Máté, Németh Fanni, Olti Tamás, Pakó Barnabás, Papp Dénes, Percze Gréta, Pintér-Lukács Erik, Pirkhoffer Bence, Sági Ambrus, Sárosi András, Schneider Viola, Solymosi Molnár Dóra, Sőtér Hunor Marcell, Sőtér Jázmin Sára, Svoboda Ármin Gergő, Szabó 667 Dóra Klára, Szabó Ábel, Szabó Jázmin, Szabó Zoárd, Szabó Zsombor, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Tasnádi Bendegúz, Varga 333 Áron, Verebély Nadin, Zörög Benett.
4 points:	23 students.
3 points:	4 students.
2 points:	7 students.
1 point:	3 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026