Problem K. 890. (February 2026)

K. 890. A square and its center are given by its vertices.

a) How many straight lines can be drawn that passes through at least two of the five given points?

b) How many circles can be drawn that passes through at least three of the five given points?

Based on a problem by György Birkás

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Az 5 pontból kettőt kiválasztani 10-féleképpen tudunk. Ez 10 egyenest jelöl ki, azonban ezek nem mind különbözők. Az a két egyenes, amelyik átmegy két átellenes csúcson és a középponton, három pontot tartalmaz, így háromszor számoltuk meg, de csak egyszer kellett volna. Ennek megfelelően összesen 10–2–2=6 egyenest találunk a feltételnek megfelelően.

b) Az 5 pontból hármat 10-féleképpen választhatunk ki (mert 10-féle párosításban maradhat ki 2 pont). A tíz ponthármas közül kettő egy egyenesen van (a négyzet két átlójára eső csúcspontok és a középpont), ezért ez e két ponthármas nem ad kört megoldásként. Azok a ponthármasok pedig, melyekben minden pont valamelyik csúcs, ugyanazt a kört, a négyzet körülírt körét eredményezik. Ezt a kört négyszer számoltuk meg, hiszen négyféleképpen választhatunk a négy csúcs közül hármat.

Ezért a ténylegesen megfelelő körök száma \(\displaystyle 10–2–3 = 5\).

Statistics:

117 students sent a solution.
5 points:	51 students.
4 points:	15 students.
3 points:	18 students.
2 points:	20 students.
1 point:	12 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026