Problem K. 891. (February 2026)
K. 891. On a cube with an edge length of 5 cm we draw all the diagonals of the faces using red color.
a) From one of the vertices of the cube an Ulrich's ground beetle starts travelling following the red lines, passing through all the vertices of the cube, and returning to the original vertex. Find the least distance travelled by the bug.
b) We cut up the large cube into smaller cubes with an edge length of 1 cm. How many of the small cubes will not contain a red line on their surface?
(5 pont)
Deadline expired on March 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) Legyen \(\displaystyle e\) egy egységnyi út, amely a lapátló felének hossza, hiszen ennyit mindenképpen irányváltoztatás nélkül megy a futrinka. Mivel a nyolc csúcs mindegyikébe be kell mennie és ki kell belőle jönnie, ezért a futrinkának minimum \(\displaystyle 8\cdot2\cdot e=16e\) utat meg kell tennie. Ilyen bejárás lehet például (az \(\displaystyle A\) csúcsból elindulva, szükség esetén az átlók metszéspontjában irányt változtatva) az \(\displaystyle A-B-E-F-G-H-D-C-A\) útvonal.
Pitagorasz tétele alapján
\(\displaystyle \Big(\frac52\Big)^2+\Big(\frac52\Big)^2=e^2, \text{ amiből } e=\frac{5\sqrt{2}}{2},\)
tehát a futrinkának legalább \(\displaystyle 16e=16\cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{2}\) cm távolságot meg kell tennie.
b) Összesen \(\displaystyle 5^3=125\) darab kis kocka van. A piros vonal átmegy a nagy kocka csúcsainál levő kis kockákon (8 db), továbbá a lapokon (és nem éleken) levő további 5-5 kockán, amelyek a lapátlókat tartalmazzák. Összesen tehát \(\displaystyle 8+6\cdot5= 38\) kis kockán van piros vonal, tehát a fennmaradó \(\displaystyle 125–38=87\) kis kockán nincsen.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026