Problem K. 899. (April 2026)

K. 899. Anna has written all the positive two-digit numbers on the blackboard once. Boglárka has erased Anna's numbers one by one and replaced them with the numbers obtained by subtracting their first digits from the second. For example, \(\displaystyle 26\) is replaced with \(\displaystyle 6-2=4\) and \(\displaystyle 37\) is replaced with \(\displaystyle 3-7=-4\). Find the sum of Boglárka's numbers.

Proposed by Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 1. megoldás. Összesen \(\displaystyle 90\) darab kétjegyű pozitív egész szám van, ezeknek első számjegye nem nulla. A \(\displaystyle 9\) darab nemnulla számjegy mindegyike \(\displaystyle 10\)-szer szerepel a tízesek helyén, így összegük:

\(\displaystyle 10 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+9)=450.\)

Az egyesek helyén mind a \(\displaystyle 10\) számjegy szerepel, de mindegyik csak \(\displaystyle 9\)-szer, így összegük:

\(\displaystyle 9 \cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+9)=405.\)

Mivel a tízesek helyén álló számjegyet Boglárka mindig kivonta, így a keresett összeg: \(\displaystyle 405-450=-45.\)

2. megoldás. Összesen \(\displaystyle 90\) darab kétjegyű pozitív egész szám van, ezek közül \(\displaystyle 81\) szám nem tartalmazza a \(\displaystyle 0\) számjegyet. Ezekben pontosan ugyanannyiszor szerepelnek a tízesek helyén az egyes nemnulla számjegyek, mint az egyesek helyén. Mivel a tízesek helyén álló számjegyet Boglárka mindig kivonta, így azok éppen \(\displaystyle 0\)-ára csökkentik a egyesek helyén álló nemnulla számjegyek összegét. Most vizsgáljuk a \(\displaystyle 0\) számjegyet tartalmazó \(\displaystyle 9\) darab számot. Mivel az első számjegy nem lehet \(\displaystyle 0\), ezért ezek éppen a \(\displaystyle 10\) kétjegyű, pozitív többszörösei. A tízesek helyén álló számot a nullából kell kivonni, így a \(\displaystyle 9\) darab szám első számjegyének ellentettjét összegezzük :

\(\displaystyle (-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)+(-6)+(-7)+(-8)+(-9)=\)

\(\displaystyle =-(1+2+3+4+5+6+7+8+9)=-45.\)

A Boglárka által a táblára írt számok összege \(\displaystyle -45.\)

Statistics:

102 students sent a solution.
5 points:	79 students.
4 points:	7 students.
3 points:	11 students.
2 points:	3 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026