Problem K. 900. (April 2026)

K. 900. We obtain a regular octagon by cutting out isosceles right triangles from the four corners of a square. Prove that the length of the side of the octagon is equal to the difference of the lengths of the diagonal and the side of the square.

Proposed by Márton Ujházy, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle x\) az egységnégyzet sarkaiból levágott egyenlő szárú derékszögű háromszög befogóinak hosszát. Határozzuk meg kétféleképpen a szabályos nyolcszög oldalhosszát! Egyrészt ez az oldalhossz éppen a levágott háromszögek átfogója, vagyis \(\displaystyle x\sqrt{2}\), másrészt a keresett oldalhossz megegyezik a négyzet oldalából le nem vágott szakasz hosszával, ami \(\displaystyle 1-2x\). Így tudjuk, hogy

\(\displaystyle x\sqrt{2} = 1-2x,\)

amiből \(\displaystyle x = \dfrac{1}{2+\sqrt{2}},\) tehát a szabályos nyolcszög oldalhossza \(\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}\).

Igazolnunk kell tehát, hogy \(\displaystyle \dfrac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,\) ami egyszerű algebrai átalakítás után nyilvánvaló.

Statistics:

81 students sent a solution.
5 points:	61 students.
4 points:	11 students.
3 points:	5 students.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026