Problem K. 906. (May 2026)

K. 906. One of the diagonals of a rectangle is three times as long as one of the sides, and it is one unit longer than the other side. How long are the sides of the rectangle measured in the given unit?

Proposed by Mátyás Czett, Zalaegerszeg

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a téglalap oldalai \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), átlója \(\displaystyle c\). A feltételek szerint \(\displaystyle c=3a\) és \(\displaystyle c=b+1\), a Pitagorasz-tétel szerint \(\displaystyle a^2+b^2=c^2\). Fejezzük ki mindhárom hosszat \(\displaystyle a\) segítségével: \(\displaystyle a=a\), \(\displaystyle b=3a-1\) és \(\displaystyle c=3a\), amiből \(\displaystyle a^2+(3a-1)^2=(3a)^2\). Rendezzük az egyenletet:

\(\displaystyle 10a^2-6a+1=9a^2,\)

\(\displaystyle a^2-6a+9=8,\)

\(\displaystyle (a-3)^2=8,\)

\(\displaystyle a=3\pm\sqrt8,\)

ezért \(\displaystyle a=3-\sqrt8\) vagy \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), de előbbi esetben \(\displaystyle b=c-1=3a-1\) negatív lenne, ezért \(\displaystyle a=3+\sqrt8\), \(\displaystyle b=8+3\sqrt8\) az egyetlen megoldás, ekkor az átló hossza \(\displaystyle c=9+3\sqrt8\).

Tehát a téglalap oldalai \(\displaystyle 3+\sqrt 8\) és \(\displaystyle 8+3\sqrt8\) egység hosszúak.

Statistics:

62 students sent a solution.
5 points:	Adamcsek Ágnes, Apostol Máté, Bachesz Kende, Barát Balázs Botond, Becker Borbála Réka, Bogoly Zsombor, Buliczka Csombor, Csaba Gréta, Cseh Sára Éva, Cséke Balázs, Csikai Tímea, Csikós Attila, Csutak András, Egyedi Bernadett, Erdei Kende, Fukuda-Horváth Soma, Fülöp Menyhért, Gusztony Dániel, Győrffy Réka Rebeka, Hajnal Kamilla, Körmöndi Csanád, Lajkó Linda, Leányvári Benjámin, Mészáros Tamás Áron, Mileff Péter, Nagy Ádám Máté, Nagy Márton, Papp Dénes, Percze Gréta, Pintér-Lukács Erik, Pirkhoffer Bence, Szabó 667 Dóra Klára, Szabó Ábel, Szabó Zoárd, Száraz Gergő, Szőnyi Artúr, Tamás Bálint Gábor, Terdy Jázmin, Varga 333 Áron, Verebély Nadin	(40 students).
4 points:	19 students.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	1 script.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026