Problem K. 95. (October 2006)

K. 95. A one-digit number is written in each field of a 3×3 chessboard. A chessman is moved in an L-shaped path from one field to another (the way that a knight moves). Such an L consists of four fields. In how many different ways is it possible to fill out the 3×3 table with (not necessarily different) one-digit numbers so that the sum of the four numbers in every such L-shaped move is the same?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2006.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Írjunk a kilenc mezőbe betűket.

a+d+e+f=g+d+e+f, így a=g. Hasonlóan megmutatható, hogy a=g=i=c. Továbbá a+d+g+h=b+a+d+g, így b=h. Hasonlóan megmutatható, hogy d=f. Továbbá d+e+f+c=h+e+b+c, így b=h és d=f miatt 2d=2h tehát d=h. Ez viszont azt jelenti, hogy d=h=f=b. Továbbá a+d+g+h=a+b+e+h, így a=e. Ezek alapján a megfelelő kitöltéshez egy vagy két számjegyet használhatunk fel összesen. Két számjeggyel való kitöltésre 90 (mert számít, hogy melyik számjegy kerül a sarkokba és középre, és melyik a maradék helyekre), egy számjeggyel való kitöltésre 10 lehetőségünk van. Az összes megfelelő kitöltések száma tehát 100.

Statistics:

202 students sent a solution.
6 points:	Bognár Barna, Boros 001 Ágnes, Budai Barbara, Csere Kálmán, Fialowski Melinda, Grőger Tímea, Gyóni Dorottya, Harangozó Klára, Kircsi Lajos, Kiss Dávid, Kitzinger Andor, Kovács 472 Nóra Beáta, Kovács 729 Gergely, Kovács Anita, Major Bálint István, Mihálka Éva Zsuzsanna, Nagy 555 Balázs, Palágyi Árpád, Poócza Eszter, Scharle András, Südi Anna, Tóth Barbara, Vesztergombi Júlia.
5 points:	Fekete Gréta, Gerlei Klára Zsófia, Hortobágyi Réka, Kókai Mariann, Lantos Dániel, Lénárt Tamás, Minya Fanni, Nagy Klaudia, Székely Anna Krisztina, Széplaki Zita, Sziráky Flóra, Tölgyesi Péter, Tutor Gábor, Zlatniczki Lilla.
4 points:	17 students.
3 points:	76 students.
2 points:	27 students.
1 point:	29 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2006