Problem M. 438. (February 2025)

M. 438. Stand up a given number of dominoes along a straight line equidistant from each other and knock the first domino. How much time will it take for the last domino to fall? How does this time depend on the distance between the dominoes?

(6 pont)

Deadline expired on March 17, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Körülbelül \(\displaystyle 1{,}5~\mathrm{m}\) hosszúra kihúztam a mérőszalagot, majd egy sima felületre, a padlóra ragasztószalaggal rögzítettem a két végét. Ennek a segítségével felállítottam a dominókat egymástól egyenlő távolságra (1. ábra). A dominók száma minden esetben 28 volt. Ezután okostelefon segítséggel elkészítettem a felvételeket. Mindegyik távolsággal háromszor végeztem el a mérést. A mozgás rögzítéséhez 240 képkocka/másodperc fényképezési frekvenciát választottam, ami körülbelül \(\displaystyle 4{,}2~\mathrm{ms}\) időbeli felbontást tett lehetővé. A felvételeket ezután a VLC alkalmazással elemeztem. Az alkalmazás kiválasztásánál fontos szempont volt, hogy azzal a felvétel képkockái egyenként megnézhetőek legyenek, ezért a VLC alkalmazáshoz letöltöttem a Time v3.2 nevű bővítményt, ami ezt lehetővé tette (2. ábra). A felvételekből ilyen módon meghatároztam azt, hogy a második és az utolsó dominó mikor kezdett el dőlni. Azért a másodikat vettem és nem az elsőt, mert az első dőlési idejét (amíg eléri a következő dominót) erősebben befolyásolja az, hogy mennyire erősen löktem meg.

1. ábra

2. ábra

A két idő különbségéből kaptam a dominósor vizsgált részének \(\displaystyle \Delta t\) eldőlési idejét. Az így kapott értékeket a dominók közötti \(\displaystyle d\) távolság függvényében ábrázoltam (3. ábra).

3. ábra

A grafikonon jól látható, hogy a teljes dominósor eldőlési ideje nem arányos a dominók közötti távolsággal, és így a dominósor teljes hosszával. Mivel a teljes dominó sor hossza a dominók közötti távolsággal arányos, ezért a dőlési front haladási sebessége függ a dominók távolságától. Kisebb dominók közötti távolságnál ez a sebesség nagyobb, mint nagyobb távolságoknál. A mérési pontokat két részre osztottam a kisebb, illetve a nagyobb távolságok szerint. Ezekre a csoportokra külön-külön egy-egy egyenest illesztettem. Az egyenesek meredekségeiből megbecsültem a dőlési front terjedési sebességét. Kis (kb. 3 cm-nél kisebb) dominóközök esetén a dőlési front terjedési sebessége

\(\displaystyle v_1=(101\pm 9)~\mathrm{cm}/\mathrm{s}, \)

és nagy (3 cm-nél nagyobb) dominóközök esetén

\(\displaystyle v_2=(22{,}5\pm 1{,}5)~\mathrm{cm}/\mathrm{s}. \)

Előbbi körülbelül \(\displaystyle 4{,}5\)-szer nagyobb, mint az utóbbi.

Az időpontok leolvasási hibája körülbelül a képkockák közötti idővel becsülhető, ami \(\displaystyle \pm 2{,}1~\mathrm{ms}\). Kisebb értékű hibát eredményezhet a dominók közötti távolság pontatlansága, ami körülbelül \(\displaystyle \pm 0{,}25~\mathrm{mm}\). A dominók párhuzamossága sem volt tökéletes, ami szintén befolyásolhatta az időket.

Fülöp Magdaléna (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)

Statistics:

11 students sent a solution.
6 points:	Fülöp Magdaléna.
5 points:	Gáti Benjamin, Hegedüs Márk, Szabadkai Ferenc, Szőke Bottyán.
4 points:	1 student.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2025