Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 4867. (October 2016)

P. 4867. Two objects, which are moving into the same direction collide totally inelastically with each other. The mass of one of the objects is \(\displaystyle n\) times as much as that of the other, whilst its speed is one-\(\displaystyle n\)-th of the speed of the other (\(\displaystyle n\ge 2\) is an integer). For which \(\displaystyle n\) will at least half of the kinetic energy be dissipated?

(4 pont)

Deadline expired on November 10, 2016.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az egyik test tömege \(\displaystyle m\), sebessége \(\displaystyle v\), a másik tömege \(\displaystyle nm\), sebessége \(\displaystyle v/n\). A két test ütközés előtti összes mozgási energiája

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(nm) \left(\frac{v}n\right)^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{1+n}{n},\)

az összimpulzusuk pedig \(\displaystyle I=2mv\).

Az ütközés utáni közös sebességük

\(\displaystyle v'=\frac{I}{m+nm}=\frac{2}{1+n}v,\)

az összes mozgási energiájuk tehát

\(\displaystyle E'=\frac{1}{2}(m+nm)v'^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{4}{1+n}.\)

A megadott \(\displaystyle E'\le \frac{1}{2}E\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{4}{1+n}\le \frac{1+n}{2n},\qquad \text {azaz}\qquad n^2-6n+1\ge 0.\)

Ezen másodfokú egyenlőtlenség megoldása (az \(\displaystyle n\ge2\) és egész feltételt is figyelembe véve): \(\displaystyle n\ge 6.\)


118 students sent a solution.
4 points:83 students.
3 points:19 students.
2 points:9 students.
1 point:5 students.
0 point:2 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2016