Problem P. 4912. (February 2017)

P. 4912. One end of a flexible, heavy rope of length \(\displaystyle L\) is attached to the ceiling, whilst the other end hangs freely. Below the suspension the rope is hit horizontally. How long does it take for the transverse signal (shock wave), generated near the suspension point, to reach the bottom end of the rope?

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha a kötél tömege hosszegységenként \(\displaystyle \lambda\), akkor az aljától számított \(\displaystyle x\) távolságban a kötelet feszítő erő \(\displaystyle F=x\lambda g\). A transzverzális hullámok (jelek) terjedési sebessége

\(\displaystyle v(x)=\sqrt{\frac{F}{\lambda}}=\sqrt{xg}.\)

Összehasonlítva ezt a képletet az egyenletesen gyorsuló mozgás \(\displaystyle v(x)=\sqrt{2ax}\) sebesség-út függvényével megállapíthatjuk, hogy a kötélen a jel \(\displaystyle a=g/2\) lassulással mozog (az előjelkülönbség onnan származik, hogy a kötélen az \(\displaystyle x\) távolságot felfelé, a sebességet pedig lefelé mértük. Eszerint a jel az \(\displaystyle L\) utat

\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{2L}{a}}=2\sqrt{\frac{L}{g}}\)

idő alatt teszi meg.

Megjegyzés. A gyorsulást a \(\displaystyle v(x)^2=xg\) összefüggés idő szerinti deriválásából is megkaphatjuk:

\(\displaystyle \frac{{\rm d}(v^2)}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(v^2)}{{\rm d}v}\cdot \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}= 2va=\frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t}g= vg,\qquad \text{vagyis}\qquad a=\frac{1}{2}g=\text{állandó}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Ardai István Tamás, Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Nenezic Patrick Uros, Osváth Botond, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András.
4 points:	Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szakály Marcell.
3 points:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, February 2017