Problem P. 4922. (March 2017)
P. 4922. The electromotive force of a battery is \(\displaystyle \mathcal{E}=18\) V. There is a 0.2 A current through one of the two resistors connected in parallel, which has a resistance of \(\displaystyle R_x\), whilst the resistance of the other resistor is \(\displaystyle R=8~\Omega\). If this resistor is disconnected from the circuit by switching off switch K, then the current through the resistor \(\displaystyle R_x\) increases to 0.3 A. What is the resistance of the resistor, and what is the internal resistance of the battery?
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a telep belső ellenállását \(\displaystyle r\)-rel! A nyitott kapcsolóálláshoz tartozó Ohm-tövény (az SI mértékegységek elhagyásával):
\(\displaystyle (R_x+r)\cdot 0{,}3=18,\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle R_x+r=60. \) |
Zárt kapcsolóállás esetén az ismeretlen ellenálláson \(\displaystyle 0{,}2\,R_x\) feszültség esik, tehát a 8 ohmos ellenálláson \(\displaystyle 0{,}025\,R_x\) áram folyik. A teljes áramkörre felírható Ohm-törvény:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \left(0{,}2+0{,}025\,R_x\right)r+0{,}2\,R_x=18.\) |
Az (1) egyenletből kifejezhető \(\displaystyle r\)-et (2)-be helyettesítve az ismeretlen ellenállásra egy másodfokú egyenletet kapunk:
\(\displaystyle R_x^2-60\,R_x+240=0,\)
amelynek gyökei:
\(\displaystyle R_x=55{,}7~\Omega \qquad \text{vagy} \qquad R_x=4{,}3~\Omega.\)
A telep belső ellenállása (1) szerint \(\displaystyle r=4{,}3~\Omega\) vagy \(\displaystyle r=55{,}7~\Omega\). (A második érték irreálisan nagy, emiatt azt – jóllehet a megadott feltételeknek matematikailag megfelel – elvethetjük.)
Megjegyzés. A kapcsoló nyitásával a főág áramerőssége lecsökken (hiszen a két párhuzamosan kapcsolt ág eredő ellenállása megnő), az \(\displaystyle R_x\) ellenálláson folyó áram nagysága azonban – érdekes módon – megnő.
Statistics:
62 students sent a solution. 5 points: Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bekes Nándor, Bukor Benedek, Csire Roland, Di Giovanni András, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Nyerges Dóra, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Papp 121 Krisztina, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Sugár Soma, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Wesniczky Albert, Zöllner András, Zsombó István. 4 points: 10 students. 3 points: 5 students. 2 points: 4 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2017