Problem P. 4923. (March 2017)
P. 4923. An insulated metal disc of radius 0.250 m is rotating with 1000 revolutions per minute. Determine the potential difference between the rim of the disc and its centre if
\(\displaystyle a)\) there is no external magnetic field;
\(\displaystyle b)\) it is in uniform magnetic field of magnitude 10.0 mT, which is perpendicular to the plane of the disc.
(5 pont)
Deadline expired on April 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A korong szögsebessége
\(\displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\,\frac{1000}{60~\rm s}=104{,}7~\rm s^{-1}.\)
A korong középpontjától \(\displaystyle r\) távolságban lévő anyagdarabkák \(\displaystyle v(r)=r\omega\) kerületi sebességgel mozognak.
\(\displaystyle a)\) A forgó fémkorong anyagában az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle -e\) töltésű elektronok szabadon el tudnak mozdulni a koronghoz képest. Ha ezt (a stacionárius töltéseloszlás kialakulása után) mégsem teszik, azért van, mert a kialakuló (sugár irányban kifelé mutató) és \(\displaystyle E(r)\) nagyságú elektromos tér éppen biztosítani tudja az elektronok körmozgásához szükséges centripetális erőt:
\(\displaystyle eE=mr\omega^2,\)
vagyis
\(\displaystyle E(r)=\frac{m}{e}\omega^2\cdot r.\)
A helyről helyre változó \(\displaystyle r\) sugár átlagosan \(\displaystyle R/2\)-nek vehető (\(\displaystyle R\) a korong sugara), és így a kialakuló feszültség:
\(\displaystyle U=E_\text{átlag}R=\frac{mR^2\omega^2}{2e}=2~\rm nV.\)
\(\displaystyle b)\) A mágneses térben mozgó elektronokra ható Lorentz-erő (a forgásiránytól és a mágneses tér irányától függően vagy a korong pereme felé, vagy pedig a korong középpontjának irányában) elmozdítja a fém elektronjait, és ez a töltésátrendeződés mindaddig tart, amíg ki nem alakul egy olyan \(\displaystyle E(r)\) elektromos tér, amely éppen kiegyenlíti a Lorentz-erő hatását. (Feltételezzük, hogy ez az erő sokkal nagyobb, mint a centripetális erő, így az utóbbit nem vesszük figyelembe.)
\(\displaystyle eE(r)=er\omega B,\qquad \text{vagyis}\qquad E(r)=B\omega\cdot r.\)
Az \(\displaystyle r\) sugarat itt is az átlagos \(\displaystyle R/2\) értékkel helyettesíthetjük, és a kialakuló feszültség:
\(\displaystyle U=E_\text{átlag}R=\frac{1}{2}R^2\omega B=33~\rm mV.\)
(Ez az érték sokkal nagyobb, mint a mágneses tér nélküli, pusztán az elektronok tömegéből adódó járulék, tehát a második esetben jogosan hanyagoltuk el a Lorentz-erő mellett a centripetális erőt.)
Statistics:
22 students sent a solution. 5 points: Bartók Imre, Bekes Nándor, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter. 4 points: Di Giovanni András, Elek Péter, Illés Gergely, Nenezic Patrick Uros. 3 points: 1 student. 2 points: 2 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, March 2017