Problem P. 4925. (March 2017)

P. 4925. Using the uncertainty principle estimate from below the energy of an electron enclosed into a sphere of diameter \(\displaystyle 10^{-11}\) m.

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A ,,gömbbe zárt'' elektron a gömb belsejében szabadon mozoghat, de a gömb falán nem képes áthatolni, emiatt a helyének bizonytalansága (határozatlansága) a gömb \(\displaystyle d\) átmérőjénél nem nagyobb. Ez érvényes mindhárom térbeli koordinátára, tehát

\(\displaystyle \Delta x\leq d,\qquad \Delta y\leq d,\qquad \Delta z\leq d.\)

A Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint az elektron sebességének komponenseire érvényes:

\(\displaystyle v_x\geq \frac{\hbar}{2m\Delta x}\geq \frac{h}{4\pi md}, \qquad v_y\geq \frac{\hbar}{2m\Delta y}\geq \frac{h}{4\pi md} \qquad v_z\geq \frac{\hbar}{2m\Delta z}\geq \frac{h}{4\pi md}.\)

ahol \(\displaystyle \hbar=h/(2\pi)\approx 1\cdot10^{-34}\) J, \(\displaystyle m=9\cdot10^{-31}~\)kg az elektron tömege és \(\displaystyle d= 10^{-11}\) m.

A gömbbe zárt elektron energiája ezek szerint

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}m\left(v_x^2+v_y^2+v_z^2\right)\geq \frac{3}{32\pi^2}\frac{h^2}{d^2m}\approx 46~{\rm aJ}\approx 0{,}3~{\rm keV}.\)

Megjegyzések. 1. A kiszámított energia alsó határa sokkal kisebb, mint az elektron \(\displaystyle mc^2=510~\)keV nyugalmi energiája, ezért jogos volt a mozgási energia nemrelativisztikus képletének alkalmazása.

2. Az alkalmazott becslés nagyságrendileg helyesen adja meg a bezárt elektron energiáját, de az energia számszerű értéke – az alkalmazott közelítéstől függően – más is lehet. (A határozatlansági relációt gyakran \(\displaystyle \Delta (mv)\cdot \Delta x \ge h\) alakban írják fel; ebből az energiára kb. 50 keV adódik.) Ez a becslés éppúgy elfogadható, mint a fentebb megadott érték.

3. A ,,dobozba'' vagy gömb alakú ,,üregbe'' zárt elektron csak egy leegyszerűsített modell, ilyen helyzet ténylegesen nem valósítható meg. (Feltehető a kérdés: miből kellene készíteni egy ilyen üreg falát.) A kocka vagy gömb alakú üreg csak modellezi pl. a hidrogénatomot, ahol az elektront az atommag Coulomb-erőtere ,,zárja be'' egy kb. \(\displaystyle 10^{-10}\) m átmérőjű térrészbe.

Statistics:

30 students sent a solution.
4 points:	Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Kolontári Péter, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Tibay Álmos.
3 points:	Csire Roland, Fehér 169 Szilveszter, Jáger Balázs, Márton Benedek, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Tóth Bence, Varga-Umbrich Eszter.
2 points:	12 students.
1 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2017