Problem P. 4935. (April 2017)

P. 4935. The wavelengths of a photon and an electron are the same. Which of them has greater kinetic energy?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Egy \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú foton impulzusa \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}\). Ugyanekkora az impulzusa egy elektronnak is, ha a de Broglie-hullámhossza \(\displaystyle \lambda\).

Az elektron energiája (a klasszikus fizika szerint)

\(\displaystyle E_{\rm e}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}.\)

A foton energiája

\(\displaystyle E_{\rm f}=pc.\)

A két energia hányadosa:

\(\displaystyle \frac{E_{\rm e}}{ {E_{\rm f}}}=\frac{p}{2{mc}}= \frac{h}{mc}\,\frac{1}{2\lambda}.\)

Amennyiben \(\displaystyle \lambda \gg \frac{h}{mc}=2{,}4\cdot 10^{-12}\) m, akkor nyilván \(\displaystyle E_{\rm e}<E_{\rm f}\). A foton energiája tehát lehet nagyobb, mint az elektron mozgási menergiája. Látszólag a fordított eset is előfordulhat, de ez hibás következtetés!

Ha

\(\displaystyle \lambda \ll \frac{h}{mc},\)

akkor az elektron impulzusa \(\displaystyle p\gg mc\), vagyis \(\displaystyle p/m\gg c\). Ilyenkor nyilván érvényét veszti a klasszikus \(\displaystyle p=mv\) összefüggés, hiszen az \(\displaystyle c\)-nél sokkal nagyobb sebességhez vezetne.

Általános esetben az elektron mozgási energiáját az

\(\displaystyle E_{\rm e}=\sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2\)

relativisztikus képlet alapján számíthatjuk ki.

Ez kis sebességekre, vagyis \(\displaystyle p\ll mc\) esetre visszaadja a klasszikus képletet, a fenti összefüggés tehát a nemrelativisztikus tartományban is érvényes. A foton energiája természetesen csak relativisztikusan számolható: \(\displaystyle E_{\rm f}=pc\). Megmutatjuk, hogy azonos hullámhosszúságú elektron és foton esetében a foton energiája mindig nagyobb, mint az elektron mozgási energiája, vagyis

\(\displaystyle \sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2<pc.\)

Valóban, átrendezés és négyzetre emelés után

\(\displaystyle m^2c^4+p^2c^2 < \left(mc^2+pc\right)^2=m^2c^4+p^2c^2+2mpc^3,\)

azaz \(\displaystyle 0<2mpc^3,\) és ez nyilván teljesül.

Megjegyzés. A \(\displaystyle \frac{h}{mc}\) mennyiséget az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Ez az a térbeli távolság, aminél kisebb méretek (kvantumelméleti tárgyalásban ennél kisebb hullámhossz) esetén az elektron mozgása csak relativisztikusan írható le. Ha egy elektront a Compton-hullámhossznál kisebb méretekre próbálunk ,,összenyomni'', akkor az (a Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint) már elegendő energiával rendelkezne ahhoz, hogy elektron-pozitron párok képződjenek, tehát ebben a mérettartományban a részecskék száma már nem marad állandó.

Statistics:

44 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Tófalusi Ádám.
4 points:	Jakus Balázs István.
3 points:	5 students.
2 points:	12 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, April 2017