Problem P. 4944. (May 2017)

P. 4944. The charge of a parallel plate condenser is \(\displaystyle Q\), the distance between its plates is \(\displaystyle d\). The condenser is placed into uniform electric field of magnitude \(\displaystyle E_0\), the direction of the electric field is perpendicular to the plates. How much work is done if the condenser is turned by 180 degree about an axis which is perpendicular to the external electric field? (In other words the plates of the condenser are swapped.)

(4 pont)

Deadline expired on June 12, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A végzett munka a rendszer energiájának megváltozásával egyenlő, ez pedig csak a kezdő- és a végállapottól függ, a folyamat részleteitől nem.

Ha például a \(\displaystyle +Q\) töltésű lemezt valamekkora \(\displaystyle W_0\) munkavégzéssel a saját síkjában jó messzire eltoljuk, ott a külső tér irányában elmozdítjuk \(\displaystyle d\)-vel, a \(\displaystyle -Q\) töltésű lemezt pedig \(\displaystyle -d\)-vel (eközben \(\displaystyle W=2QdE_0\) munkát végzünk), majd a \(\displaystyle +Q\) töltésű lemezt \(\displaystyle -W_0\) munkavégzéssel visszahozzuk a másik lemez ,,túlsó oldalára'', akkor összesen \(\displaystyle W=2QdE_0\) munkát végeztünk.

Ugyanezt az eredményt az elektrosztatikus térenergia megváltozásából is megkaphatjuk. Külső tér hiányában az \(\displaystyle A\) felületű kondenzátorlemezek között \(\displaystyle E_1=\frac{Q}{\varepsilon_0A}\)erősségű elektromos tér lenne. A külső tér jelenléte esetén a lemezek közötti térerősség \(\displaystyle E_0\pm E_1\), az előjel attól függ, hogy melyik kondenzátorlemez töltése \(\displaystyle +Q\) és melyiké \(\displaystyle -Q\). A térenergia megváltozása (vagyis a lemezek forgatása során végzett munka):

\(\displaystyle W=\frac{\varepsilon_0}{2}\left(E_0+ E_1\right)^2 Ad- \frac{\varepsilon_0}{2}\left(E_0- E_1\right)^2 Ad= {2\varepsilon_0 E_0E_1 Ad} =2QdE_0. \)

Egy harmadik számolási módszer: Osszuk fel a kondenzátorlemezek töltését kicsiny, ponttöltéseknek tekinthető \(\displaystyle \pm \Delta Q\) töltésekre. Egy-egy töltéspárt (amely \(\displaystyle d\Delta Q\) dipólerősségű dipólnak felel meg) felcserélve \(\displaystyle \Delta W=2(d\Delta Q)E_0\) munkát kell végeznünk a külső elektromos mező ellenében. Ezen ,,elemi munkák'' összege

\(\displaystyle W=\sum \Delta W=2 dE_0 \sum \Delta Q= 2QdE_0.\)

Statistics:

27 students sent a solution.
4 points:	Csuha Boglárka, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Kavas Katalin, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Krasznai Anna, Magyar Róbert Attila, Nagy 555 Botond, Németh Csaba Tibor, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Paulovics Péter, Póta Balázs, Sal Dávid, Schrott Márton, Stefán Boglárka Abigél, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Tóth Máté, Turcsányi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András.
3 points:	Makovsky Mihály.
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, May 2017