Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A P. 4951. feladat (2017. szeptember)

P. 4951. A Nap körüli keringése során másodpercenként közelítőleg mekkora távolsággal tér el a Föld az egyenes iránytól?

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. Ismert, hogy a Nap-Föld távolság

\(\displaystyle R=1~\text{csillagászati egység} =1~{\rm CsE}= 150~\text{millió km}.\)

A jó közelítéssel kör alakú pálya \(\displaystyle 2R\pi\) hosszú kerületét 1 év alatt teszi meg a Föld, sebessége tehát

\(\displaystyle v=2R\pi/T=30~\rm km/s.\)

A Föld \(\displaystyle t=1\) másodperc alatt \(\displaystyle x=vt=30~\)km-t tesz meg, miközben egy kicsit eltér a kör érintőjétől (vagyis az egyenes iránytól). Az eltérést többféle módon is kiszámíthatjuk.

\(\displaystyle (i)\) Ha egyenesen haladna a Föld, \(\displaystyle x\) elmozdulás után \(\displaystyle \sqrt{R^2+x^2}\) távol kerülne a Naptól, de a körpályán a távolsága ténylegesen \(\displaystyle R\) marad. Az eltérés nagysága

\(\displaystyle \Delta R=\sqrt{R^2+x^2}-R= \sqrt{150\,000\,000^2+30^2}-150\,000\,000.\)

Sajnos ezt a mennyiséget közvetlen számolással nem tudjuk kiszámítani, mert a négyzetgyök értéke a zsebszámológépek pontossága erejéig éppen 1 CsE, tehát az eltérés numerikusan nullának adódik.

Ügyesebben is eljárhatunk, ha a keresett mennyiséget megszorozzuk és el is osztjuk egy megfelelően választott kifejezéssel:

\(\displaystyle \Delta R=\frac{\left(\sqrt{R^2+x^2}-R\right)\cdot \left(\sqrt{R^2+x^2}+R\right)}{\left(\sqrt{R^2+x^2}+R\right)}.\)

A számláló \(\displaystyle (R^2+x^2)-R^2=x^2,\) a nevező pedig jó közelítéssel \(\displaystyle 2R\), az eltérés tehát

\(\displaystyle \Delta R\approx \frac{x^2}{2R}=\frac{(30~\rm km)^2}{3\cdot 10^6~\rm km}=3~\rm mm.\)

\(\displaystyle (ii)\) Geometriai megfontolásokkal is megkaphatjuk a keresett távolságot. A Föld \(\displaystyle x\) hosszúságú elmozdulása során a Föld – jó közelítéssel \(\displaystyle x\) távolságra kerül az eredeti helyzetétől (ha a húr \(\displaystyle h\) hosszát a körív \(\displaystyle x\) hosszával közelítjük). Ezalatt a Földet a Nappal összekötő egyenes \(\displaystyle x/R\) szöggel fordul el, a kör érintője tehát a kiindulási pontban \(\displaystyle x/(2R)\) szöget zár be a kör húrjával. Így a Föld eltávolodása az érintő egyenesétől (az egyenesen mért távolságot az \(\displaystyle x\) sugarú, \(\displaystyle x/(2R)\) középponti szögű körív hosszával közelítve):

\(\displaystyle \Delta R\approx \frac{x^2}{2R}=3~\rm mm.\)

\(\displaystyle (iii)\) Az eltérést a Föld centripetális gyorsulásából is kiszámíthatjuk. A \(\displaystyle v\) sebességgel mozgó Föld \(\displaystyle a=v^2/R\) gyorsulással ,,esik'' a Nap felé, \(\displaystyle t=1~\)s alatt tehát

\(\displaystyle \Delta R=\frac{a}{2}t^2=\frac{v^2}{2R}t^2=\frac{x^2}{2R}=3~\rm mm\)

távol kerül a kört érintő egyenestől.


Statisztika:

80 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Balaskó Dominik, Bálint Boglárka Eszter, Békési Ábel, Bukor Benedek, Cseh Noémi, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Hervay Bence, Jánosdeák Márk, Kolontári Péter, Kovács 111 Bence, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Paulovics Péter, Pénzes Ádám, Rozgonyi Gergely, Rusvai Miklós, Selmi Bálint, Szabó 314 László, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Tóth 111 Máté , Turcsányi Ádám, Veres Kristóf, Viczián Anna, Vígh Márton.
3 pontot kapott:Andorfi István, Balog 518 Lóránd, Édes Lili, Forczek Bianka, Jánosik Áron, Kálóczi Kornél, Kiss Dániel Márk, Magyar Máté, Takács Nóra, Tófalusi Ádám, Turcsányi Máté.
2 pontot kapott:15 versenyző.
1 pontot kapott:9 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2017. szeptemberi fizika feladatai