Problem P. 4956. (September 2017)

P. 4956. At a certain instant the symmetry axis of the parabolic mirror of an astronomical telescope is vertical. The focal length of the mirror is \(\displaystyle f\). At this instant the rim of the mirror is at a height of \(\displaystyle H\) with respect to the lowest point of the mirror. A small object of mass \(\displaystyle m\), starting from the rim of the mirror slides down on the mirror frictionlessly to the centre of the mirror. What is the force exerted by the small object at the centre of the mirror?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az energiamegmaradás törvénye szerint a tükör legmélyebb pontjánál (a tükör középpontjánál) a test sebessége \(\displaystyle v=\sqrt{2gH}\). Ha a parabola görbületi sugara \(\displaystyle R\), és a tükör által kifejtett erő ebben a pontban \(\displaystyle N\), a test mozgásegyenlete

\(\displaystyle N-mg=ma, \qquad \text{ahol}\qquad a=\frac{v^2}{R}.\)

A sebesség ismert értékének felhasználásával

\(\displaystyle N=mg\left(1+\frac{2H}{R}\right).\)

Tudjuk továbbá, hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú gömbtükör az optikai tengelyhez közeli fénysugarakat az \(\displaystyle f=R/2\) fókusztávolságú pontba gyűjti össze. A parabolatükör a tengelyével párhuzamosan érkező valamennyi fénysugarat ugyanabba a pontba fókuszálja, így a tengelyhez közeli sugarakkal is ezt teszi. A tükör középpontjában a parabolához legjobban ,,simuló'' gömb sugara tehát a fókusztávolság kétszerese: \(\displaystyle R=2f\). Ezek szerint a keresett nyomóerő: \(\displaystyle N=mg\left(1+\frac{H}{f}\right).\)

Statistics:

45 students sent a solution.
5 points:	An Tamás, Balaskó Dominik, Bartók Imre, Békési Ábel, Berke Martin, Bíró Dániel, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Facskó Benedek, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Kiszli Zalán, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Merkl Gergely, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Paulovics Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Shirsha Bose, Surján Botond, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Tóth 111 Máté , Turcsányi Ádám.
3 points:	4 students.
1 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, September 2017