Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A P. 4957. feladat (2017. szeptember)

P. 4957. Egy négyzet alakú drótkeret oldalélei az ábrán látható \(\displaystyle r_1\) és \(\displaystyle r_2\) ellenállású huzalokból készültek. A keret az ábra síkjára merőleges, homogén, időben egyenletesen növekvő mágneses indukciójú mezőben van. Mekkora \(\displaystyle R\) ellenállású vezetéket kapcsoljunk a négyzet átlójára, hogy az a leggyorsabb ütemben melegedjen?

Izsák Imre Gyula verseny (Zalaegerszeg) feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. október 10-én LEJÁRT.


Megoldás. A változó mágneses tér miatt az ábrán látható mindkét háromszög oldalai mentén ugyanakkora \(\displaystyle U_0\) körfeszültség indukálódik.

Az ábrán látható jelölésekkel a Kirchhoff-féle huroktörvény egyenletei:

\(\displaystyle RI+2r_1I_1=U_0,\)

\(\displaystyle RI+ 2r_2(I-I_1) =-U_0.\)

Ezekből következik, hogy

\(\displaystyle I=U_0\frac{r_1-r_2}{R(r_1+r_2)+2r_1r_2},\)

az \(\displaystyle R\) ellenállás melegedésének hőteljesítménye:

\(\displaystyle P=I^2R= R\left(U_0\frac{r_1-r_2}{R(r_1+r_2)+2r_1r_2}\right)^2.\)

Ennek a kifejezésnek keressük a maximumát \(\displaystyle R\) függvényében. Mivel \(\displaystyle P(R)\) reciproka így írható fel:

\(\displaystyle \frac{1}{P(R)}=\text{állandó}\cdot \left( R(r_1+r_2)^2+\frac{(2r_1r_2)^2}{R}+\text{állandó}\right),\)

a leggyorsabb melegedés annál az ellenállásnál következik be, amelyre

\(\displaystyle R(r_1+r_2)^2+\frac{(2r_1r_2)^2}{R}\)

minimális. Alkalmazva a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenséget azt kapjuk, a \(\displaystyle P(R)\) függvény a maximumát az

\(\displaystyle R=\frac{2r_1r_2}{r_1+r_2}\)

értéknél veszi fel. Ezek szerint akkor melegszik a leggyorsabban a négyzet átlójában található ellenálláshuzal, ha \(\displaystyle R\) az \(\displaystyle r_1\) és \(\displaystyle r_2\) ellenállások harmonikus középértéke.


Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bíró Dániel, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Dávid, Shirsha Bose, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:Berke Martin.
3 pontot kapott:1 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.

A KöMaL 2017. szeptemberi fizika feladatai