Problem P. 4958. (September 2017)

P. 4958. In a piece of uranium ore there are 200 million \(\displaystyle {}^{233}\)U atoms. The half-life of the \(\displaystyle {}^{233}\)U isotope is \(\displaystyle 1.6\cdot10^5\) years, and it decays to \(\displaystyle {}^{229}\)Th, the half-life of which is \(\displaystyle 7.{}8\cdot10^3\) years. This decays to \(\displaystyle {}^{225}\)Ra, which has a half-life of 15 days. Estimate the number of \(\displaystyle {}^{225}\)Ra nuclei in the uranium ore.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A \(\displaystyle ^{233}\)U izotóp felezési ideje nagyon nagy, ezért az uránatomok \(\displaystyle N_\text{urán}\) száma jó közelítéssel állandónak tekinthető. A bomlástermékek felezési ideje sokkal kisebb, ezért állandósult állapotban belőlük ugyanannyi bomlik el, mint amennyi keletkezik. A 225-ös rádium atommagok \(\displaystyle N_\text{rádium}\) száma akkora, hogy belőlük egységnyi idő alatt ugyanannyi bomoljon el, mint ahány urán bomlik ugyanennyi idő alatt. Mivel az aktivitás (időegység alatti bomlások száma) a részecskék számával egyenesen, a felezési idővel pedig fordítottan arányos, az állandósult állapot feltétele:

\(\displaystyle \frac{N_\text{urán}}{T_\text{urán}}= \frac{N_\text{rádium}}{T_\text{rádium}}.\)

Innen a rádium atommagok száma a kérdéses mintában:

\(\displaystyle N_\text{rádium}=2\cdot10^8\,\frac{15~\text{nap}}{1{,}6\cdot10^5~\text{év }}\approx 50~\text{darab}.\)

Statistics:

34 students sent a solution.
5 points:	Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Hajnal Dániel Konrád, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Póta Balázs, Pszota Máté, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám.
4 points:	Bartók Imre, Békési Ábel, Cseh Noémi, Csire Roland, Édes Lili, Elek Péter, Guba Zoltán, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Ónodi Gergely, Shirsha Bose, Szakály Marcell.
3 points:	1 student.
2 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, September 2017