Problem P. 4959. (September 2017)

P. 4959. One of the vertices of a regular pentagon-shaped thin metal sheet is earthed, whilst to the others voltage supplies of small internal resistance are connected, as shown in the figure. What is the reading on the voltmeter connected to the centre of the sheet?

(6 pont)

Deadline expired on October 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelöljük az ötszög középpontjának potenciálját \(\displaystyle U_0\)-lal. Képzeljük el, hogy van még másik 4 ugyanilyen fémlemezünk, amelyek csúcspontjaihoz kapcsolt feszültségek az eredeti eset \(\displaystyle {2\pi/5} \), \(\displaystyle 2\cdot {2\pi/5} \), \(\displaystyle 3\cdot{2\pi/5} \) és \(\displaystyle 4\cdot{2\pi/5} \) szögű elforgatásával kaphatók meg. Mindegyik esetben a középpont potenciálja a szimmetria miatt nyilván \(\displaystyle U_0\) lesz.

Képezzük az 5 darab fémlemezben kialakuló feszültség- és árameloszlás szuperpozícióját! Ezt azért tehetjük meg, mert a feszültségek és az áramok közötti kapcsolat (az Ohm-törvény) lineáris összefüggés. A szuperponált állapotban mindegyik csúcspont potenciálja 10 V, a középponté pedig \(\displaystyle 5\,U_0\). Mivel a csúcspontok között nincs feszültség, áramok sem folynak, és így a középpont potenciálja is 10 V.

Ezek szerint az eredeti elrendezésben a középpont potenciálja \(\displaystyle U_0=2~\rm V\), ekkora feszültséget mutat a középponthoz kapcsolt, a másik végén földelt voltmérő.

Statistics:

14 students sent a solution.
6 points:	Elek Péter, Facskó Benedek, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Magyar Róbert Attila, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Dávid, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám.
3 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, September 2017