Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

A P. 4964. feladat (2017. október)

P. 4964. Legalább mekkora erővel lehet felborítani egy jégen csúszó jégkockát? (A súrlódás elhanyagolható.)

Példatári feladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. november 10-én LEJÁRT.


Legyen a jégkocka oldaléle \(\displaystyle d\) hosszú, tömege \(\displaystyle m\) és hasson a jégkockára az egyik oldaléle középpontjában \(\displaystyle F\) nagyságú, a vízszintessel \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró erő (lásd az ábrát).

A felborulás határhelyzetében a kocka már egy kicsit megemelkedik, és csak a \(\displaystyle P\) ponton átmenő élénél érintkezik a vízszintes jégfelülettel. A kocka vízszintes irányban egyenletesen gyorsul, a függőleges gyorsulása és a forgási szöggyorsulása nulla. A mozgásegyenletek ennek megfelelően:

\(\displaystyle F\cos\alpha=ma,\)

\(\displaystyle F\sin\alpha+N-mg=0,\)

\(\displaystyle F\frac{d}{2}\cos\alpha+F\frac{d}{2}\sin\alpha-N\frac{d}{2}=0.\)

(A forgómozgás alapegyenletét a tömegközéppontra írtuk fel. Vigyázat: más pontra felírt forgási egyenlet rossz eredményre vezethet!)

A fenti egyenletekből az erőre

\(\displaystyle F=\frac{1}{\cos\alpha+2\sin\alpha}mg\)

kifejezés adódik. Ennek legkisebb értéke a nevező maximumához tartozik. Belátható (egy 1 és 2 oldalélű, \(\displaystyle \alpha\) szögben megbillentett téglalap legmagasabb pontjának megkeresésével, vagy trigonometrikus átalakításokkal, esetleg differenciálszámítással), hogy

\(\displaystyle \cos\alpha+2\sin\alpha\le \sqrt{5},\)

és a szélsőérték \(\displaystyle \tg\alpha=2\), vagyis \(\displaystyle \alpha\approx63^\circ\) szöghöz tartozik.

A jégkockát tehát a súlyának \(\displaystyle 1/\sqrt{5}\) részével, annak kb. 45%-ával lehet felborítani.


Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Bartók Imre, Csire Roland, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kozák András, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:Békési Ábel, Fajszi Bulcsú, Marozsák Tádé, Molnár Mátyás, Ónodi Gergely.
3 pontot kapott:16 versenyző.
2 pontot kapott:14 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:4 versenyző.
Nem versenyszerű:4 dolgozat.

A KöMaL 2017. októberi fizika feladatai