Problem P. 4965. (October 2017)

P. 4965. Just half of a flexible pearl necklace, which can slip easily, is lying on a horizontal tabletop, whilst its other half is hanging down vertically, at the edge of the table. If the necklace is released without initial speed, then it slides down from the tabletop – moving faster and faster. At some certain position of the necklace, next to the edge of the table the beads do not turn abruptly, but move over the edge, and the hanging part of the necklace begins to wave as a whip. What fraction of the necklace is on the table when this wavy motion begins?

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az energiamegmaradás törvénye szerint abban a helyzetben, amikor az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú gyöngysor \(\displaystyle x\ell\) hosszú darabja (\(\displaystyle \tfrac12>x>0\)) még a vízszintes asztallapon van, a többi (tehát \(\displaystyle \ell-x\ell\) hosszúságú) része pedig függőleges, a gyöngysor minden darabkájának sebessége \(\displaystyle \sqrt{4x^2-8x+3}\)-mal arányos, a vízszintes darab lendülete pedig az \(\displaystyle x\sqrt{4x^2-8x+3}\) kifejezéssel arányos. Ez a lendület \(\displaystyle x\) csökkenésével kezdetben növekszik, ezt a lánc többi részének húzóereje okozza. Egy bizonyos \(\displaystyle x_0\)-tól kezdve azonban a lendület csökkenő \(\displaystyle x\)-ekre csökkenni kezdene, ez azonban csak úgy következhet be, ha az addig függőleges gyöngysordarab hullámossá válik és ,,visszafelé'' ható erőt is ki tud fejteni. A hullámzás kezdetét a vízszintes irányú lendület szélsőértéke (maximuma) határozza meg. Ezt numerikus vagy grafikus módszerrel, illetve differenciálszámítással határozhatjuk meg. A szélsőérték helye:

\(\displaystyle x_0=\frac{3-\sqrt{3}}{4}\approx 0{,}317,\)

tehát a hullámosodás akkor indul be, amikor a gyöngysornak mintegy 32 százaléka van még az asztalon.

Statistics:

10 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Csire Roland, Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, October 2017