Problem P. 4967. (October 2017)
P. 4967. Initially the plates of a big parallel plate condenser are vertical. The top end of the thread, of length \(\displaystyle \ell=10\) cm, of a simple pendulum is fixed at a point which is equidistant from the two plates. Both the condenser and the small-mass pendulum bob are charged. The angle between the thread and the vertical is \(\displaystyle \alpha=30^\circ\).
\(\displaystyle a)\) At what angle and into which direction should the plates of the condenser be tilted in order that the thread gets parallel to the plates of the condenser?
\(\displaystyle b)\) At this position of the condenser what is the least initial speed at which the bob should be pushed perpendicularly to the thread in order that the bob moves along the circular path to which it is restricted by the thread?
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A \(\displaystyle q\) töltésű ingatestre \(\displaystyle E\) nagyságú elektromos térben \(\displaystyle qE\) nagyságú, kezdetben vízszintes irányű elektrosztatikus erő hat. Ez akkor téríti ki \(\displaystyle \alpha\) szögben az \(\displaystyle mg\) súlyú ingát, ha
\(\displaystyle \frac{qE}{mg}=\tg\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
A megdöntött kondenzátor esetében az erőegyensúly feltétele:
\(\displaystyle mg\sin\beta=qE,\)
vagyis
\(\displaystyle \sin\beta=\frac{qE}{mg}=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \beta=35{,}3^\circ,\qquad \text{vagy}\qquad \beta=144{,}7^\circ.\)
Ekkora szögben megdöntve a kondenzátort (a fonál eredeti kitérésének irányában) a fonál a lemezekkel párhuzamos lesz.
\(\displaystyle b)\) A megdöntött helyzetben az elektromos erő és a nehézségi erő eredője a fonállal párhuzamos, nagysága \(\displaystyle mg\cos\beta=0{,}82\,mg=mg'\). Az inga egy ilyen erőtérben úgy mozog, mintha a nehézségi gyorsulás \(\displaystyle g'=0{,}82\,g\) lenne, és elektromos erő nem hatna.
A teljes körpálya megtételéhez az szükséges, hogy a fonál sehol ne lazuljon meg. Ennek feltétele az, hogy a test kezdősebessége legalább
\(\displaystyle v_0= \sqrt{5g'\ell}\approx 2~\frac{\rm m}{\rm s}\)
legyen.
Statistics:
50 students sent a solution. 5 points: Bartók Imre, Bíró Dániel, Csire Roland, Elek Péter, Makovsky Mihály, Tófalusi Ádám. 4 points: An Tamás, Balaskó Dominik, Békési Ábel, Berke Martin, Bukor Benedek, Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Molnár 957 Barnabás, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Póta Balázs, Rusvai Miklós, Surján Botond, Tafferner Zoltán, Tóth 111 Máté . 3 points: 12 students. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, October 2017