Problem P. 4969. (October 2017)
P. 4969. Two flat coils, the symmetry axis of which coincide, are at a distance of \(\displaystyle h\) from each other, as shown in the figure. The number of turns of the coils are \(\displaystyle N_1\) and \(\displaystyle N_2\), their radii are \(\displaystyle R\) and \(\displaystyle r\) (\(\displaystyle r\ll R\)), and the values of the current flowing in them are \(\displaystyle I_1\) and \(\displaystyle I_2\), respectively. What is the force exerted between the two coils?
(6 pont)
Deadline expired on November 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A Biot–Savart-törvény szerint számolható a nagyobb tekercs \(\displaystyle B(x)\) mágneses indukciója a szimmetriatengely mentén. (Ez a képlet a ,,Négyjegyűben'' is megtalálható.)
\(\displaystyle B(x)=\frac{\mu_0}2 \frac{I_1N_1R^2}{\left(x^2+R^2\right)^{3/2}}.\)
A kis tekercs áramjárta meneteire ható eredő erő – a tengelyes szimmetria miatt – csakis a két tekercs közös szimmetriatengelyével párhuzamos lehet. Ilyen erőt a mágneses tér sugár irányú (a szimmetriatengelyre merőleges) \(\displaystyle B_r\) indukcióvektor-komponense hoz létre:
\(\displaystyle F=B_r\cdot N_2I_2\cdot 2\pi r.\)
\(\displaystyle B_r\) nagysága abból a feltételből határozható meg, hogy a mágneses indukciómező forrásmentes (hiszen mágneses töltések nincsenek). Ha elképzelünk egy \(\displaystyle r\) sugarú, kicsiny \(\displaystyle \Delta h\) magasságú hengert a kis tekercs helyén, abba az egyik alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h)\) számú erővonal lép be, a távolabbi alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h+\Delta h)\) számú erővonal lép ki, és a palástján további \(\displaystyle 2r\pi \Delta h\cdot B_r\) számú erővonal lép ki. A mágneses indukció forrásmentességének feltétele:
\(\displaystyle r^2\pi B(h)=r^2\pi B(h+\Delta h)+2r\pi \Delta h\cdot B_r,\)
vagyis
\(\displaystyle B_r=\frac{r}{2}\frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}.\)
A fenti képletben szereplő tört az \(\displaystyle (1+\varepsilon)^n\approx 1+n\varepsilon\) (\(\displaystyle \varepsilon\ll 1\)) közelítő formula segítségével, esetleg deriválással számolható:
\(\displaystyle \frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}\approx B'(x)\vert _{(x=h)}=-\mu_0\frac32 \, \frac{ I_1N_1R^2h}{ \left(h^2+R^2\right)^{5/2}}.\)
Így végül a keresett erő kifejezése:
\(\displaystyle F=\mu_0\frac{3\pi }2R^2r^2I_1I_2N_1N_2\frac{h}{(h^2+R^2)^{5/2}}.\)
Statistics:
10 students sent a solution. 6 points: Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám. 3 points: 2 students. 2 points: 3 students. 1 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, October 2017