Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem P. 4969. (October 2017)

P. 4969. Two flat coils, the symmetry axis of which coincide, are at a distance of \(\displaystyle h\) from each other, as shown in the figure. The number of turns of the coils are \(\displaystyle N_1\) and \(\displaystyle N_2\), their radii are \(\displaystyle R\) and \(\displaystyle r\) (\(\displaystyle r\ll R\)), and the values of the current flowing in them are \(\displaystyle I_1\) and \(\displaystyle I_2\), respectively. What is the force exerted between the two coils?

(6 pont)

Deadline expired on November 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A Biot–Savart-törvény szerint számolható a nagyobb tekercs \(\displaystyle B(x)\) mágneses indukciója a szimmetriatengely mentén. (Ez a képlet a ,,Négyjegyűben'' is megtalálható.)

\(\displaystyle B(x)=\frac{\mu_0}2 \frac{I_1N_1R^2}{\left(x^2+R^2\right)^{3/2}}.\)

A kis tekercs áramjárta meneteire ható eredő erő – a tengelyes szimmetria miatt – csakis a két tekercs közös szimmetriatengelyével párhuzamos lehet. Ilyen erőt a mágneses tér sugár irányú (a szimmetriatengelyre merőleges) \(\displaystyle B_r\) indukcióvektor-komponens hoz létre:

\(\displaystyle F=B_r\cdot N_2I_2\cdot 2\pi r.\)

\(\displaystyle B_r\) nagysága abból a feltételből határozható meg, hogy a mágneses indukciómező forrásmentes (hiszen mágneses töltések nincsenek). Ha elképzelünk egy \(\displaystyle r\) sugarú, kicsiny \(\displaystyle \Delta h\) magasságú hengert a kis tekercs helyén, abba az egyik alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h)\) számú erővonal lép be, a távolabbi alapkörén \(\displaystyle r^2\pi B(h+\Delta h)\) számú erővonal lép ki, és a palástján további \(\displaystyle 2r\pi \Delta h\cdot B_r\) számú erővonal lép ki. A mágneses indukció forrásmentességének feltétele:

\(\displaystyle r^2\pi B(h)=r^2\pi B(h+\Delta h)+2r\pi \Delta h\cdot B_r,\)

vagyis

\(\displaystyle B_r=\frac{r}{2}\frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}.\)

A fenti képletben szereplő tört az \(\displaystyle (1+\varepsilon)^n\approx 1+n\varepsilon\) (\(\displaystyle \varepsilon\ll 1\)) közelítő formula segítségével, esetleg deriválással számolható:

\(\displaystyle \frac{B(h+\Delta h)-B(h)}{\Delta h}\approx B'(x)\vert _{(x=h)}=-\mu_0\frac32 \, \frac{ I_1N_1R^2h}{ \left(h^2+R^2\right)^{5/2}}.\)

Így végül a keresett erő kifejezése:

\(\displaystyle F=\mu_0\frac{3\pi }2R^2r^2I_1I_2N_1N_2\frac{h}{(h^2+R^2)^{5/2}}.\)


Statistics:

10 students sent a solution.
6 points:Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám.
3 points:2 students.
2 points:3 students.
1 point:1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2017