Problem P. 4972. (November 2017)
P. 4972. One end of a piece of unstretchable, light thread of length \(\displaystyle \ell\) is suspended, whilst the other end is attached to a small ring which can slide without friction along a horizontal rod – at a height of \(\displaystyle d<\ell\) above the point of suspension. The thread is held tight, and next to the rod a small object of mass \(\displaystyle m\) is placed by means of a pulley onto the thread, and then the system is released.
\(\displaystyle a)\) What will the speed of the object be at the lowermost point of its path?
\(\displaystyle b)\) Along what kind of curve does the object move?
\(\displaystyle c)\) What is the extension in the thread at the lowermost point of the path?
(5 pont)
Deadline expired on December 11, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Amikor az \(\displaystyle m\) tömegű test a pályájának legmélyebb pontjánál van, akkor mindkét fonálszál függőleges, és a csiga \(\displaystyle \tfrac12(\ell+d)\) távolságra kerül a rúdtól. Az energiamegmaradás tétele szerint a test sebessége ekkor
\(\displaystyle v=\sqrt{g(\ell+d)}.\)
\(\displaystyle b)\) A mozgás során a fonál egyik része mindvégig függőleges. (Ha nem így lenne, akkor vízszintes irányú erőt is kifejtene a gyűrűre, és az a kicsiny tömege miatt nagyon nagy gyorsulással mozogna.)
Vegyünk fel a rúddal párhuzamosan, a rúd alatt, attól \(\displaystyle \ell\) távolságban egy segédegyenest, az ábrán látható módon. Mozgása során a csiga mindig ugyanolyan messze lesz ettől az egyenestől, mint amilyen távol van az \(\displaystyle F\) ponttól, a fonál rögzített végpontjától.
Ezek szerint a pályagörbe parabola, melynek fókuszpontja \(\displaystyle F\), fókusztávolsága
\(\displaystyle f=\frac{\ell-d}{2}.\)
\(\displaystyle c)\) Ha a pálya legalsó, \(\displaystyle P\)-vel jelölt pontjában a fonalat feszítő erő \(\displaystyle K\), akkor a test mozgásegyenlete:
\(\displaystyle 2K-mg=\frac{mv^2}{R},\)
ahol \(\displaystyle R\) a parabola görbületi sugara a \(\displaystyle P\) pontban..
Az optikából ismert, hogy egy \(\displaystyle R\) sugarú gömbtükör fókusztávolsága közelítőleg \(\displaystyle R/2\). Ebből következik, hogy a parabolát legjobban közelítő kör (a simulókör) sugara
\(\displaystyle R=2f=\ell-d,\)
és így a keresett fonálerő:
\(\displaystyle K=\frac{1}{2}\left(mg+\frac{mg(\ell+d)}{\ell-d}\right)=mg\frac{\ell}{\ell-d}.\)
Statistics:
65 students sent a solution. 5 points: Bukor Benedek, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Jánosdeák Márk, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Olosz Adél, Sal Dávid, Tófalusi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna. 4 points: Bartók Imre, Beke Csongor, Berke Martin, Bíró Dániel, Csire Roland, Czett Mátyás, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Gulácsi Máté, Illés Gergely, Kozák 023 Áron, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Merkl Gergely, Morvai Orsolya, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Schneider Anna. 3 points: 14 students. 2 points: 8 students. 1 point: 7 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, November 2017