Problem P. 4975. (November 2017)

P. 4975. During an experiment carried out in a laboratory on the Earth, a small object of mass \(\displaystyle m\) and of charge \(\displaystyle Q\) is released in uniform horizontal magnetic field of induction \(\displaystyle B\). (It can be assumed that \(\displaystyle mg < QBc\) where \(\displaystyle c\) is the speed of light.) The motion of the object is observed until it reaches its lowermost position.

\(\displaystyle a)\) What is the greatest speed of the object?

\(\displaystyle b)\) To what depth does it sink?

\(\displaystyle c)\) What is its average speed along the horizontal direction?

\(\displaystyle d)\) What is the acceleration of the object at the lowermost point of its path?

(5 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Szemléljük a test mozgását egy olyan koordináta-rendszerből, amely vízszintes irányban, a \(\displaystyle B\)-vonalakra merőlegesen

\(\displaystyle v_0=\frac{mg}{QB}\)

sebességgel mozog! (Feltesszük, hogy \(\displaystyle v_0\ll c\), így a klasszikus mechanika törvényei alkalmazhatóak.) Ebben a rendszerben a mágneses mező mellett fellép egy függőleges irányú,

\(\displaystyle E=v_0B=\frac{mg}{Q}\)

nagyságú elektromos mező (mozgási indukció). Ha a mozgás irányát megfelelően választjuk, akkor a fellépő \(\displaystyle QE=mg\) elektromos erő éppen kiejti a nehézségi erőt. Ebben az esetben a test a vízszintes irányú kezdősebességének megfelelően állandó, \(\displaystyle v_0\) nagyságú sebességgel egyenletes körmozgást végez a Lorentz-erő hatására. A \(\displaystyle Qv_0B=mv_0^2/R\) mozgásegyenletből következik, hogy a pálya sugara:

\(\displaystyle R=\frac{mv_0}{QB}=\left(\frac{m }{QB}\right)^2g.\)

\(\displaystyle a)\) A test legnagyobb sebessége az eredeti koordináta-rendszerben

\(\displaystyle 2v_0= \frac{2mg}{QB},\)

ezt a pálya legmélyebb pontjában éri el, ahol a kétféle mozgásból adódó sebességek azonos irányúak.

\(\displaystyle b)\) A test legnagyobb lesüllyedése az eredeti koordináta-rendszerben

\(\displaystyle 2R=2g\left(\frac{m }{QB}\right)^2.\)

\(\displaystyle c)\) A vizsgálandó időtartam alatt a test vízszintes irányú átlagsebessége a mozgó koordináta-rendszerben nulla, az eredeti koordináta-rendszerben tehát az átlagsebesség

\(\displaystyle v_0 =\frac{mg}{QB}.\)

\(\displaystyle d)\) A test gyorsulásának nagysága a pálya bármely pontjában mindkét (inerciális) koordináta-rendszerben

\(\displaystyle a=\frac{v_0^2}{R}=g\)

nagyságú, iránya azonban pillanatról pillanatra változik, a pálya legmélyebb pontjában például függőlegesen felfelé mutat.

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Bartók Imre, Berke Martin, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Magyar Róbert Attila, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
4 points:	Bukor Benedek.
2 points:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2017