Problem P. 4976. (November 2017)
P. 4976. Three small balls are placed along a straight line, such that initially they do not move, and the distance between two neighbouring balls is \(\displaystyle d\). The masses and the charges of the balls are \(\displaystyle m\), \(\displaystyle 2m\), \(\displaystyle 5m\) and \(\displaystyle q\), \(\displaystyle q\), \(\displaystyle 2q\), respectively.
\(\displaystyle a)\) What is the distance between the balls, and what is their velocity when a very short time of \(\displaystyle t_0\) elapses after the balls start to move?
\(\displaystyle b)\) What is the speed of the balls after a long enough time?
(Apart from the electrostatic forces any other forces can be neglected.)
(5 pont)
Deadline expired on December 11, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Vegyük fel a koordináta-rendszerünk \(\displaystyle x\) tengelyét az adott egyenes mentén balról jobbra, és számozzuk meg golyókat növekvő koordinátáknak megfelelő sorrendben. Az 1. golyóra ható erő a kezdeti pillanatban
\(\displaystyle F_1=-k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{4d^2}=-1{,}5\frac{kq^2}{d^2},\)
gyorsulása tehát
\(\displaystyle a_1=\frac{F_1}{m}=-1{,}5\frac{kq^2}{md^2},\)
és így egy nagyon rövid \(\displaystyle t_0\) idő alatti elmozdulása (a mozgását egyenletesen gyorsulónak tekintve)
\(\displaystyle x_1= \frac{a_1}{2}t_0^2=-0{,}75~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.\)
(A negatív előjel azt mutatja, hogy az első golyócska balra mozdul el.)
Hasonló módon számíthatjuk ki a másik két golyó elmozdulását is:
\(\displaystyle F_2= k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{ d^2}=-\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_2=\frac{F_2}{2m}=-0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_2=-0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2,\)
\(\displaystyle F_3= k\frac{2q^2}{4d^2}+\frac{2q^2}{ d^2}=2{,}5~\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_3=\frac{F_3}{5m}=0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_3=0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.\)
\(\displaystyle b)\) Vegyük észre, hogy a szomszédos golyók egymáshoz viszonyított kezdeti gyorsulásai, és emiatt az egymáshoz viszonyított elmozdulásaik is és a sebességkülönbségeik is megegyeznek:
\(\displaystyle a_3-a_2=a_2-a_1, \qquad v_3-v_2=v_2-v_1 \qquad\text{és}\qquad x_3-x_2=x_2-x_1.\)
Ez a tulajdonság a továbbiakban is megmarad, így akkor is igaz, amikor – elegendően hosszú idő múlva – már nagyon messze kerülnek egymástól. Ilyenkor a végsebességekre fennáll:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle mv_1+2mv_2+5mv_3=0,\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}(2m)v_2^2+\frac{1}{2}(5m)v_3^2=k\frac{q^2}{d}+k\frac{2q^2}{2d}+k\frac{2q^2}{d},\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle v_3-v_2=v_2-v_1.\) |
A fenti három egyenletből (melyek közül az első a rendszer lendületének, a második az energiájának megmaradását fejezi ki) a végsebességek:
\(\displaystyle v_1=-3\sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_2=- \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_3=+ \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}.\)
Statistics:
51 students sent a solution. 5 points: Berke Martin, Debreczeni Tibor, Kondákor Márk, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Póta Balázs, Sal Dávid. 4 points: Bartók Imre, Bíró Dániel, Csire Roland, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Olosz Adél, Shirsha Bose, Tófalusi Ádám. 3 points: 5 students. 2 points: 18 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, November 2017