Problem P. 4977. (November 2017)
P. 4977. The capacitors in the circuit shown in the figure are uncharged, before turning the switch on. At a certain moment the switch is closed. (Neglect the internal resistance of the voltage supply, the capacitance of the wires and the resistors, and the inductance of any of the elements in the circuit.)
Sketch a graph of the voltage across the capacitors as a function of time.
Data: \(\displaystyle C_1=150~\mu\)F, \(\displaystyle C_2=50~\mu\)F, \(\displaystyle R_1=40~\rm k\Omega\), \(\displaystyle R_2=10~\rm k\Omega\), \(\displaystyle U_0=100\) V.
(5 pont)
Deadline expired on December 11, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelöljük a kondenzátorok feszültségét \(\displaystyle U_1(t)\) és \(\displaystyle U_2(t)=U_0-U_1(t)\) módon, az ellenállásokon folyó áramok pedig legyenek \(\displaystyle I_1\) és \(\displaystyle I_2\). (A feszültségeket és az áramokat jobbról balra tekintjük pozitívnak.)
A kapcsoló bekapcsolásának pillanatát követően a kondenzátorok nagyon rövid (elhanyagolható) idő alatt feltöltődnek, hiszen a vezetékek és a telep (belső) ellenállásasa elhanyagolható. Mivel a két kondenzátor közös pontjából csak az ellenállásokon keresztül folyhat el áram, a kezdeti pillanatban ott az össztöltés még nulla, vagyis a kondenzátorok feszültsége a kapacitásuk reciprokának arányában osztja meg a teljes telepfeszültséget.
\(\displaystyle U_1(0)=\frac{C_2}{C_1+C_2}U_0=25~{\rm V} \qquad \text{és}\qquad U_2(0)=\frac{C_1}{C_1+C_2}U_0=75~{\rm V}.\)
Elegendően hosszú idő múlva – amikor az ellenállásokon már állandó (és egymással megegyező) nagyságú áram folyik, az ellenállásokon azok nagyságával arányos feszültség alakul ki, és ugyanekkora lesz a hozzájuk kapcsolt kondenzátorok feszültsége is:
\(\displaystyle U_1^*=\frac{R_1}{R_1+R_2}U_0=80~{\rm V} \qquad \text{és}\qquad U_2^*=\frac{R_2}{R_1+R_2}U_0=20~{\rm V}.\)
A kondenzátorok feszültsége időben változó függvényekkel írható le, és vázlatosan az ábrán látható módon alakul. Belátható (de ez nem szerepelt a feladat kérdései között), hogy a feszültségváltozás az idő exponenciális függvénye, és az ábrán bejelölt 1,6 s a kapcsolás ,,időállandójának'' felel meg.
Megjegyzés. Belátjuk, hogy a feszültségek változása exponenciális függvénnyel adható meg, amelynek időállandóját mind a kondenzátorok, mind pedig az ellenállások párhuzamos kapcsolásának megfelelő képletből számíthatjuk ki:
\(\displaystyle T_0=R_\text{eredő}C_\text{eredő}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\,\left(C_1+C_2\right)=1{,}6~\rm s.\)
A folyamat során a kondenzátorok (időben változó) töltése: \(\displaystyle Q_1(t)=C_1U_1(t)\) és \(\displaystyle Q_2(t)=C_2\left(U_0-U_1(t)\right)\), tehát a rajtuk ,,átfolyó'' áram (a jobb oldali lemezekre ráfolyó és a bal oldali lemezekről elfolyó áram) erőssége:
\(\displaystyle I_1'=\frac{\Delta Q_1(t)}{\Delta t}=C_1\frac{\Delta U_1(t)}{\Delta t} \qquad \text{és}\qquad I_2'=\frac{\Delta Q_2(t)}{\Delta t}=-C_2\frac{\Delta U_1(t)}{\Delta t}. \)
Ugyanekkor az ellenállások árama:
\(\displaystyle I_1(t)=\frac{U_1(t)}{R_1} \qquad \text{és}\qquad I_2(t)=\frac{U_0-U_1(t)}{R_2}.\)
A csomóponti törvény szerint \(\displaystyle I_1+I_1'=I_2+I_2'\), vagyis
\(\displaystyle \left(C_1+C_2\right)\frac{\Delta U_1(t)}{\Delta t}+\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \right)U_1(t)=\frac{U_0 }{R_2}.\)
Az ellenállások és a kondenzátorok párhuzamos eredője
\(\displaystyle R_\text{eredő}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \right)^{-1}=8~\rm k\Omega,\qquad C_\text{eredő}=C_1+C_2=200~\mu\rm F.\)
Bevezetve a
\(\displaystyle \lambda=\frac{1}{R_\text{eredő}C_\text{eredő}}=\frac{1}{1{,}6~\rm s}\)
jelölést, a bal oldali kondenzátor feszültségváltozásának egyenlete:
\(\displaystyle \frac{\Delta U_1(t)}{\Delta t}=-\lambda U_1(t)+\text{állandó}.\)
Ennek az egyenletnek a kezdeti feltételt is figyelembe vevő megoldása (lásd. pl. a radioaktív bomlások hasonló egyenletét) SI egységekben:
\(\displaystyle U_1(t)=80-55\, e^{-\frac{t}{1{,}6}},\)
és hasonló módon
\(\displaystyle U_2(t)=20+55\, e^{-\frac{t}{1{,}6}}.\)
Statistics:
20 students sent a solution. 5 points: Bíró Dániel, Elek Péter, Fent István, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám. 3 points: 2 students. 2 points: 2 students. 1 point: 7 students. 0 point: 1 student.
Problems in Physics of KöMaL, November 2017