Problem P. 4979. (November 2017)

P. 4979. A drop of mercury of radius \(\displaystyle R\) and of surface tension \(\displaystyle \alpha\) is floating in weightlessness. If the drop is placed into weak, uniform electric field of magnitude \(\displaystyle E_0\), then the drop will extend in the direction of the electric field, its shape is nearly a rotational ellipsoid. Estimate the length of the extended mercury drop.

(6 pont)

Deadline expired on December 11, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az elektromos tér megosztást hoz létre a higanycseppben, annak felületére töltések ülnek ki. A külső tér a felületi töltésekre ,,kifelé'' mutató erőket fejt ki, és ezek az erők addig deformálják a cseppet, amíg a felületi feszültségből származó erők egyensúlyba nem kerülnek az elektromos erőkkel.

A fentebb vázolt kvalitatív képet próbáljuk meg számszerűsíthető becsléssé finomítani. Első tájékozódáshoz már az egyszerű dimenzionális megfontolások is elegendőek. A csepp megnyúlása (jelöljük ezt \(\displaystyle 2\Delta R\)-rel) az elektromos térerősségtől, a felületi feszültségtől és a csepp sugarától függhet, és a képletében megjelenhet még a vákuum dielektromos állandója:

\(\displaystyle 2\Delta R=f(E_0, \alpha, R,\varepsilon_0).\)

A megnyúlás \(\displaystyle E_0\)-nak páros függvénye (hiszen az elektromos tér irányától nem függ), ezért csak \(\displaystyle E_0^2\)-től függ. Mivel erőtérmentes esetben a megnyúlás nulla, és a külső tér gyenge, feltételezhetjük, hogy \(\displaystyle \Delta R\sim E_0^2.\)

Keressük a megnyúlást

\(\displaystyle f=\text{állandó}\cdot \left(E_0^2\right) \cdot \alpha^x\left(\varepsilon_0\right)^y \cdot R^z\)

alakban, ahol az állandó, valamint az \(\displaystyle x,y \) és \(\displaystyle z\) kitevők dimenziótlan számok. Figyelembe véve a fellépő mennyiségek dimenzióját, felírhatjuk, hogy

\(\displaystyle {\rm m}= \frac{\rm N^2}{\rm C^2} \cdot \left(\frac{\rm N}{\rm m}\right)^x\cdot \left( \frac{\rm C^2}{\rm N\,m^2}\right)^y \cdot {\rm m}^z.\)

A neweton, a coulomb és a méter dimenziókat összeszámolva kapjuk, hogy \(\displaystyle x=-1\), \(\displaystyle y=1\) és \(\displaystyle z=2\), tehát a csepp megnyúlása:

\(\displaystyle 2\Delta R=\text{állandó}\cdot \frac{\varepsilon_0E_0^2}{\alpha}R^2.\)

A fenti képletben szereplő állandó számszerű értékének pontosításához részletesebb (az erők egyensúlyát vizsgáló) megfontolásokra van szükség. Közelíthetjük például a cseppet egy \(\displaystyle a=R+\Delta R\) nagytengelyű (forgástengelyű), \(\displaystyle b=R-\tfrac12 \Delta R\) kistengelyű forgási ellipszoiddal. Feltehetjük (hiszen a külső tér gyenge), hogy a csepp csak kicsit tér el a gömbtől, vagyis a \(\displaystyle \lambda=\frac{\Delta R}{R}\) mennyiség sokkal kisebb 1-nél. Ennek az ellipszoidnak a térfogata

\(\displaystyle V=\frac{4\pi}{3}ab^2=\frac{4R^3\pi}{3}(1+\lambda)(1-\tfrac{1}{2}\lambda)^2\approx \frac{4R^3\pi}3,\)

összhangban azzal, hogy a higany jó közelítéssel összenyomhatatlan folyadék.

A deformált higanycsepp görbületi nyomása a nagytengely végpontjaiban

\(\displaystyle p_1=2\alpha\frac{ a}{b^2}=\frac{2\alpha}{R} \frac{1+\lambda}{(1-\tfrac12 \lambda)^2}\approx \frac{2\alpha}{R}\left(1+2\lambda\right).\)

Hasonló módon a görbületi nyomás a kistengely végpontjaiban

\(\displaystyle p_2= \alpha\left(\frac{b}{a^2}+\frac{1}{b}\right)\approx \frac{2\alpha}{R} (1-\lambda).\)

A két nyomás közötti különbség:

\(\displaystyle p_1-p_2=6\lambda\frac{\alpha}{R}.\)

Másrészt kiszámíthatjuk, hogy a homogén elektromos térbe helyezett gömb felülete mentén az elektromos térerősség nulla és \(\displaystyle E=3E_0\) között változik. (A gömbön kívül olyan az elektromos mező, mintha a homogén térhez egy alkalmasan választott erősségű dipólus terét adnánk hozzá.) Az elektromos mező által létrehozott felületi töltéssűrűség \(\displaystyle \varepsilon_0E\), az ebből származó húzófeszültség (negatív nyomás) pedig \(\displaystyle \tfrac12\varepsilon_0E^2\). Ez a cseppnek a külső tér irányába eső tengelyének végpontjaiban \(\displaystyle \tfrac92\varepsilon_0E_0^2\), az erre merőleges tengelyek végpontjaiban pedig nulla.

A nyomáskülönbségeket a görbületi nyomások különbségével egyenlővé téve a

\(\displaystyle 6\lambda\frac{\alpha}{R}=\frac92\varepsilon_0E_0^2 \)

összefüggés adódik, ahonnan a csepp megnyúlására a

\(\displaystyle 2\Delta R=2\lambda R=\frac{3}{2}\cdot\frac{\varepsilon_0E_0^2}{\alpha}R^2 \)

eredmény adódik.

Belátható, hogy a csepp alakja kis deformáció esetén (\(\displaystyle \lambda\) magasabb hatványainak elhanyagolásával) valóban forgási ellipszoid, és ha a megnyúlás a fentebb megadott érték, akkor az erők egyensúlya nemcsak az ellipszoid tengelyeinek végpontjánál, hanem a felület minden pontjánál teljesül.

Statistics:

9 students sent a solution.
6 points:	Elek Péter, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Tófalusi Ádám.
4 points:	3 students.
3 points:	2 students.

Problems in Physics of KöMaL, November 2017